Question

如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证AC=BF

Answer 1

过B点做AC的平行线交AD的延长线于G点

∵AD为中线，∴BD=CD

∵BG平行于AC，∴∠FGB=∠CAF，∠DBG=∠ACD

在△AFE和△GFB中

∵∠FGB=∠CAF，∠GFB=∠AFE

∴△AFE∽△GFB

∴∠FGB=∠FAE

∵AE=AF

∴∠FAE=∠AFE

∴∠BFG=∠G

∴△GFB为等腰三角形，且BF=BG

在△ADC和△GBD中

∵∠DBG=∠ACD，BD=CD，∠BDG=∠CDA

∴△ADC≌△GBD

∴BG=AC

∴BF=AC

Answer 2

过E做平行于BC的直线交AD于H点
则有△EHF相似于△BDF，△AHE相似于△ADC
所以EH/EF=BD/BF,EH/AE=DC/AC
已知AE=EF,BD=DC,可推出AC=BF

Answer 3

证：过B点作AC的平行线交AD的延长线于G点
∵AD为中线
∴BD=CD
∵AC∥BG
∴角ACD=角GBD
∵AE=EF
∴角EAF=角AFE
∵角AFE=角BFG
又∵AC∥BG
角FAE=角BGD
∴三角形BGF为等腰三角形
∴BG=BF
在△BGD和△CAD中，
角BGD=角CAD
角BDG=角CDA
BD=CD
∴△BGD≌△CAD（AAS）
∴AC=BG
∴AC=BF
这是受到答案启发，不用证明相似得来的~