若a、b、c是三角形的三边长,且有a的三次方+b的三次方+c的三次方=3abc。试判断三角形的形状
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a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)]
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)
=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
a=b=c
等边三角形
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)]
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)
=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
a=b=c
等边三角形
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