Question

如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接PA、PB、PC, PD.若BC/PC=2根号5/5，

求PA的长。

Answer 1

∵弧PB=PC，∴弦PB=PC，△PBC是等腰三角形；
在AB上移动D点，使AD=AC，连接DC，
那么△ADC也是等腰三角形，且
∵B、P、A、C都在⊙O上，∴∠BAC=∠BPC，
得△ADC∽△PBC，∠ACD=∠PCB，那么∠ACP=∠DCB。
考查△PAC与△BDC，已证∠ACP=∠DCB，
还有圆周角∠APC=∠ABC，∴△PAC∽△BDC，得PA/BD=PC/BC，
式中BD=AB-AD=AB-AC=6-4=2， BC/PC=2√5/5，
∴PA=BD/(BC/PC)=2/（2√5/5）=√5。

追问

抱歉的告诉你，AD=AC不行，题目没告诉你。和不错了，还能不能在想想

追答

因为题目只说AB上有一点D，并没有强调D的具体位置，是一闲置点，所以我才借用D点，并把D安排到指定的位置（使AD=AC），用来辅助证题。
如果说不许使用你的D点，那么我的辅助点可以换个名字。改作：在AB上取一点E，使AE=AC……，下文的所有的D统统改作E就行了。

Answer 2

解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形

∵P是优弧BAC的中点 ∴弧PB＝弧PC

∴PB＝PC

∵BD＝AC＝4 ∠PBD=∠PCA

∴△PBD≌△PCA

∴PA=PD 即△PAD是以AD为底边的等腰三角形

（2）由（1）可知，当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2

过点P作PE⊥AD于E，则AE＝AD=1

∵∠PCB=∠PAD

∴cos∠PAD=cos∠PCB=根号5/5

∴PA=根号5

Answer 3

当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形

∵P是优弧BAC的中点 ∴弧PB＝弧PC

∴PB＝PC

∵BD＝AC＝4 ∠PBD=∠PCA

∴△PBD≌△PCA

∴PA=PD 即△PAD是以AD为底边的等腰三角形

由上可知，当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2

过点P作PE⊥AD于E，则AE＝AD=1

∵∠PCB=∠PAD

AE 开根5
∴cos∠PAD=cos∠PCB= —— = —
PA 5

∴PA=开跟5

Answer 4

【答案】解：当BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形。理由如下：
∵P是优弧 的中点，∴ 。∴PB=PC。
若△PAD是以AD为底边的等腰三角形，则PA=PD。
又∵∠PAD=∠PCB，∴△PAD∽△PCB。∴∠DPA=∠BPC。∴∠BPD=∠CPA。
在△PBD与△PCA中，∵PB=PC，∠BPD=∠CPA，PD=PA ，∴△PBD≌△PCA（SAS）。
∴BD=AC=4。
由于以上结论，反之也成立，
∴当BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形。
【考点】圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，全等和相似三角形的判定与性质。
【分析】根据等弧对等弦以及全等和相似三角形的判定与性质进行求解。

Answer 5

：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形
∵P是优弧BAC的中点 ∴弧PB＝弧PC
∴PB＝PC
∵BD＝AC＝4 ∠PBD=∠PCA
∴△PBD≌△PCA
∴PA=PD 即△PAD是以AD为底边的等腰三角形
（2）由（1）可知，当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2
　　过点P作PE⊥AD于E，则AE＝AD=1
　　∵∠PCB=∠PAD
　　∴cos∠PAD=cos∠PCB=
　　∴PA=

Answer 6

解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形

∵P是优弧BAC的中点 ∴弧PB＝弧PC

∴PB＝PC

∵BD＝AC＝4 ∠PBD=∠PCA

∴△PBD≌△PCA

∴PA=PD 即△PAD是以AD为底边的等腰三角形

（2）由（1）可知，当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2

过点P作PE⊥AD于E，则AE＝AD=1

∵∠PCB=∠PAD

∴cos∠PAD=cos∠PCB=根号5/5

∴PA=根号5