Question

求圆心在直线3x-y=0上,与x轴相切,且被直线x-y=0截得的弦长为2根号7的圆的方程

不能用社半径x.3x这样的方法！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

设所要求的圆的圆心为G。
∵G在直线3x－y＝0上，∴可设G的坐标为（m，3m）。
∵圆与x轴相切，∴G到x轴的距离就是圆的半径，∴圆的半径为｜3m｜。
∴所要求的圆的方程可写成：（x－m）^2＋（y－3m）^2＝9m^2。

令直线x－y＝0截圆所得的弦为AB。
∵A、B都在直线x－y＝0上，∴可设A、B的坐标分别是（a，a），（b，b）。
联立：x－y＝0、（x－m）^2＋（y－3m）^2＝9m^2，消去y，得：
（x－m）^2＋（x－3m）^2＝9m^2，　∴x^2－2mx＋m^2＋x^2－6mx＋m^2－9m^2＝0，
∴2x^2－8mx－7m^2＝0。

显然，a、b是方程2x^2－8mx－7m^2＝0的根，∴由韦达定理，有：
a＋b＝4m、且ab＝－7m^2/2。
依题意，有：｜AB｜＝2√7，　∴√［（a－b）^2＋（a－b）^2］＝2√7，
∴√｛2［（a＋b）^2－4ab］｝＝2√7，　∴√［2（16m^2＋14m^2）］＝2√7，
∴2×30m^2＝28，　∴m^2＝7/15，　∴m＝±√105/15。

当m＝√105/15时，圆的方程是（x－√105/15）^2＋（y－√105/5）^2＝21/5。
当m＝－√105/15时，圆的方程是（x＋√105/15）^2＋（y＋√105/5）^2＝21/5。

∴满足条件的圆的方程有两个，分别是：
（x－√105/15）^2＋（y－√105/5）^2＝21/5；　（x＋√105/15）^2＋（y＋√105/5）^2＝21/5。