Question

高数问题，请教高手

若f(x)是多项式函数，x=a是f(x)的k重根，求证:x=a是f'(x)的k-1重根。

Answer 1

因为x=a是f(x)的k重根，所以f（x）=（x-a）^kg（x），其中g（a）≠0. f'(x)=k(x-a)^(k-1)g(x)+(x-a）^kg'（x)=(x-a)^(k-1)(kg(x)+(x-a)g'(x))，所以(x-a)^(k-1)能够整除f'(x)。但(x-a)^k不能整除f'(x)。从而x=a是f'(x)的k-1重根。

追问

如何证明(kg(x)+(x-a)g'(x))中一定没有根x=a?

追答

因为x-a能整除(x-a)g'(x)，但不能整除kg(x），所以x-a不能整除kg(x)+(x-a)g'(x)，即(kg(x)+(x-a)g'(x))中没有根x=a

Answer 2

f(x)=a1x^n+a2x^(n-1)+...+an
x=a是方程k重根
f(x)=(x-a)^k*[b1x^(n-k)+...+b(n-k)]
f'(x)=k(x-a)^(k-1)*[b1x^(n-k)+...+b(n-k)]+(x-a)^k*[(n-k)*b1^(n-k-1)+...+bn-k+1]
=k(x-a)^(k-1)*g(x)
因此x=a也是f'(x)=0的k-1重根

追问

如何证明g(x)中没有根x=a?

追答

因为f(x)=(x-a)^k*[b1x^(n-k)+...+b(n-k)]
*[b1x^(n-k)+...+b(n-k)]没有(x-a)的因式，g(x)没有(x-a)因式

Answer 3

若f(x)是多项式函数，x=a是f(x)的k重根，求证:x=a是f'(x)的k-1重根。
证明：∵x=a是f(x)的k重根，∴x-a必是f(x)的k重因子，故f(x)=[(x-a)^k]φ(x)
于是f′(x)=k[(x-a)^(k-1)]φ(x)+[(x-a)^k]φ′(x)=[(x-a)^(k-1)][kφ(x)+(x-a)φ′(x)]
这就证明了x=a是f'(x)的k-1重根。

追问

如何证明kφ(x)+(x-a)φ′(x)中一定不含根x=a？

追答

∵f(x)=[(x-a)^k]φ(x)，∴φ(x)中不再有(x-a)的因子，因此kφ(x)+(x-a)φ′(x)中就不会再有公因式
(x-a)，从而不会再有x=a的根！

Answer 4

、切比雪夫不等式：设随机变量X有期望E(X)与方差D(X)，则对任意正数ε，有

P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε^2,

或P{|X-E(X)|＜ε}≥1-D(X)/ε^2.

它表明，当D(X)很小时，X落入区间E(X)-ε，E(X)+ε是大概率事件，也即X的概率分布集中在期望E(X)附近。

2、贝努利大数定律：设m是n次独立重复试验中A发生的次数，p是事件A的概率：p=P(A)，则对任意正数ε有：

它表明：当n充分大时“频率m/n与概率p的绝对偏差小于任意给定的正数ε”。这正是“概率是频率稳定值”的确切含义。

贝努利大数定律成立的条件是，独立重复试验。

3、独立同分布序列的切比雪夫大数定律 设独立随机变量序列X1，X2，... ，Xn，...服从相同的分布，E(Xi)=μ,D(X)=σ^2(i=1,2...),则对于任意正数ε，有

它表明：n充分大时，“试验值~X与期望μ的绝对偏差小于任意给定正数ε”几乎必然会发生，这正是“期望是试验平均值的稳定值”的确切含义。

概率论中，大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述：时也是数理统计的重理论基础。

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二、了解独立同分布序列的中心极限定理，知道棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。

1、独立同分布序列的中心极限定理

当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N(nμ,nσ^2)

当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值的分布近似于正态分布N(μ,σ^2/n)
2、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p,又设m为n次独立重复试验中事件A发生的频数，则当n充分大时，m近似服从正态分布N(np,npq);

在贝努利试验中，若事件A发生概率为p,又设m/n为n次独立重复试验中事件A发生的频率，则当n充分大时，m/n近似服从正态分布N(p,pq/n)