Question

已知函数f(x)对任意实数x,y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>2,f(1)=3,证明

已知函数f(x)对任意实数x,y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>2,f(1)=3,（1）证明f(x)在R上是增函数，（2），求不等式f(a^2-2a-2)＜3的解集

Answer 1

证明：定义域内任取x1,x2使x1>x2
则f(x1)-f(x2)=f[x2+(x1-x2)]-f(x2)=f(x2)+f(x1-x2)-2-f(x2)=f(x1-x2)-2
而x1-x2>0所以f(x1-x2)>2
则f(x1)>f(x2)即f(x)为增函数得证
（2）f(a^2-2a-2)<3,,f(a^2-2a-2)<f(1)
a^2-2a-3<0 ，解得-1<a<3

Answer 2

假设 y>0, x+y>x则有条件知 f(x+y)-f(x)=f(y)-2>0，（1）得证。（定义）（不太严格）
f(a^2-2a-2)＜3=f(1) , 且函数为增函数，所以a^2-2a-2<1 即-1<a<3