Question

在直角坐标系XOY中，一次函数Y=kX+b（K≠0）的图像与X轴、Y轴的正半轴分别交于A、B两点，

且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3.
（1）用b表示K
（2）求△OAB面积的最小值

Answer 1

1）由于直线y=kx+b与x轴y轴正半轴相交，所以k为负数，b为正数，OB=b，oA=-b/k。代入|OA|+|OB|+3中得，b-b/k=3，k=b/（b-3）。
2）s△OAB=0.5*|OA|*|OB|=0.5*（-b/k）*b=-0.5b^2+1.5b,
这是一个二次函数，当b=1.5时，S有最小值为9/8。

追问

为什么代入|OA|+|OB|+3中得，b-b/k=3，k=b/（b-3）。？

Answer 2

由于直线y=kx+b与x轴y轴正半轴相交，所以k为负数，b为正数，OB=b，oA=-b/k
因为△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3.，所以1/2.OA.OB（△OAB的面积）=|OA|+|OB|+3.
即可求出b-b/k=3，k=b/（b-3）。

Answer 3

（1）令x=0，得y=b，b＞0；
令y=0，得x=-bk＞0，k＜0．
所以A，B两点的坐标分别为A（-bk，0），B（0，b），
于是，△OAB的面积为S=12b?（-bk）．
由题意，有12b?（-bk）=-bk+b+3，
解得k=2b-b22（b+3），b＞2；

（2）由（1）知S=12b?（-bk）=b（b+3）b-2=（b-2）2+7（b-2）+10b-2，
=b-2+10b-2+7=（b-2-10b-2）2+7+210，
≥7+210，
当且仅当b-2=10b-2时，有S=7+210，
即当b=2+10，k=-1时，不等式中的等号成立．
所以，△OAB面积的最小值为7+210．