Question

高数极限题求详解，谢谢啦~

1。 求x趋0+时， （1-x^sinx）/(xlnx) 的极限

2。求x趋正无穷时， (派/2 - arctanx)^1/lnx 的极限

麻烦详细一点，谢谢~

Answer 1

1。 求x趋0+时，(1-x^sinx)/(xlnx) 的极限
解：x→0+lim(1-x^sinx)/(xlnx)=x→0+lim(1-x^x)/xlnx...........(1)
由于x→0+limx^x=x→0+lime^(xlnx)=x→0+lime^[(lnx)/(1/x)]
=x→0+lime^[(1/x)/(-1/x²)]=x→0+lime^(-x)=1
x→0+limxlnx=x→0+lim(lnx)/(1/x)=x→0+lim[(1/x)/(-1/x²)]=x→0+lim(-x)=0
故(1)是0/0型，可以使用罗必达法则：其中(x^x)′=(x^x)(1+lnx)
于是x→0+lim(1-x^sinx)/(xlnx)=x→0+lim(1-x^x)/xlnx=x→0+lim[1-x^x(1+lnx)]/[1+lnx]
=x→0+lim[1/(1+lnx)-x^x]=[x→0+lim[1/(1+lnx)]-[x→0+lim(x^x)]=0-1=-1
2。求x趋正无穷时， (π/2 - arctanx)^(1/lnx )的极限
解：x→+∞lim(π/2 - arctanx)^(1/lnx )=x→+∞lime^[(1/lnx)ln(π/2-arctanx)](e的指数是∞/∞型)
在e的指数上使用罗必达法则，
其中[ln(π/2-arctanx)]′=-[1/(1+x²)]/(π/2-arctanx)=-1/[(1+x²)(π/2-arctanx)]，(lnx)′=1/x；
故x→+∞lim(π/2 - arctanx)^(1/lnx )=x→+∞lime^[ln(π/2-arctanx)/lnx]
=x→+∞lime^{-x/[(1+x²)(π/2-arctanx)]}
=x→+∞lime^{-[x/(1+x²)]/(π/2-arctanx)} ∵(x→+∞lim[x/(1+x²)]=0，x→+∞lim(π/2-arctanx)=0)
=x→+∞lime^{[-(1-x²)/(1+x²)²]/[-1/(1+x²)]
=x→+∞lime^[(1-x²)/(1+x²)]=x→+∞lime^[(1/x²-1)/(1/x²+1)]=e^(-1)=1/e

Answer 2

1
lim(x- 0+) (1-x^sinx)/xlnx
(x^sinx)' y=x^sinx lny=sinxlnx y'/y=sinx/x+cosxlnx y'=(sinx/x+cosxlnx)*x^sinx
=lim(1-x^sinx)'/(xlnx)'
=lim(sinx/x+cosxlnx)*x^sinx/(lnx+1)
=1

2
lim(x→∞) (π/2-arctanx)^(1/lnx)
=lim(x→∞) (π/2)^(1/lnx) *(1-arctanx/(π/2))^(1/lnx)
=lim(x→∞) (π/2)^(1/lnx)*[(1-arctanx/(π/2))^((-π/2)/arctanx)]^[arctanx/lnx]^(-π/2)
lim(x→∞) (π/2)^(1/lnx)=1 lim(x→∞) [1-arctanx/(π/2) ^(-(π/2)/arctanx)=e
lim(x→∞) arctanx/lnx=lim(x→∞) (arctanx)'/(lnx)'=1/(1+x^2)/(1/x)=x/(1+x^2)=1/(1/x+x)=0
=1

Answer 3

洛必达法则