Question

已知函数f(x)=ax/(x^2+b),在x=1处取得极值2.

(1)求函数f(x)的解析式.
(2)当m满足什么条件时,区间(m,2m+1)为函数f(x)的单调增区间
(3)若P(x0，y0）为f(x)=ax/(x^2+b)图像上任意一点，直线l与f(x)=ax/(x^2+b)的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围 求过程 谢谢

Answer 1

(1):
f'(x)=a(b-x^2)/(x^2+b)^2,因为在x=1时取极值2，所以f'(1)=0;
由于分母不能为零，所以分子为零，即b-x^2=b-1=0,即b=1.
f(1)=a/(1+1)=2,所以a=4;
f(x)=4x/(x^2+1)
(2):
f'(x)=4(1-x^2)/(x^2+1)^2,令f'(x)=0得x=1或-1
当f'(x)>0，即-1<x<1时，f(x)单调递增，若使区间(m,2m+1)为函数f(x)的单调增区间则必须有m>-1,2m+1<1即-1<m<0;
所以m的条件是-1<m<0。
(3):
f'(x)=4(1-x^2)/(x^2+1)^2
f''(x)=8x(x-3)/(1+x^2)^3
f''(x)=0时,x=0,x=3
f''(x)>0时,x>3,x<0
f''(x)<0时,0<x<3
所以，f'(x)的最大值为f'(0)=4,f'(x)的最小值为f'(3)=-0.32
所以直线l的斜率k的取值范围是（-0.32,4）

Answer 2

唉...