Question

在圆O中，AB是直径，M是OB上任意一点，作∠CMB =∠DMB分别交交圆O于C，D两点，求证MC=MD

Answer 1

证明：延长CM,DM,分别交圆于E,F,
过O作OP⊥CE,OQ⊥DF,垂足为P,Q
因为∠CMB =∠DMB
所以OP=OQ（角平分线上的点到角两边的距离相等）
所以△OPM≌△OQM(AAS),
所以PM=QM,
因为OP=OQ
所以CE=BF(同圆中，相等的弦心距所对的弦相等)
所以CE/2=BF/2
即CP=DQ,
所以CP-PM=DQ-QM
即MC=MD