Question

在直角坐标系中,O为坐标原点,A点坐标为(1,0),点B在x轴上且在A点右侧,AB=OA

在直角坐标系中,O为坐标原点,A点坐标为(1,0),点B在x轴上且在A点右侧,AB=OA，过A,B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x^2的图像于点C,D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H

（1）请你探究S△CMD：S梯形ABMC的值
（2）若把条件中“A点的坐标为（1,0）”改为（t,0)，t>0“（1）中的比值是否成立

Answer 1

(1)A(1, 0), OA = 1 = AB, B(2, 0)

C(1, 1), D(2, 4)

OC的方程为y = x, 取x = 2, y = 2, M(2, 2)

MD = 4-2 =2

C与DM的距离=AB=1

S△CMD = （1/2)*MD*AB = (1/2)*2*1 = 1

AC = 1, BD = 4

S梯形ABMC = (1/2)(AC+BD)*AB = (1/2)(1+4)*1 = 5/2

二者的比为1: 5/2 = 2:5

(2) A(t, 0), B(2t, 0), C(t, t²), D(2t, 4t²)

OC的斜率为t²/t = t方程为y = tx, M(2t, 2t²)

MD = 4t²-2t² = 2t²

C与DM的距离=AB = t

S△CMD = （1/2)*MD*AB = (1/2)*2t²*t = t³

AC = t², BD = 4t²

S梯形ABMC = (1/2)(AC+BD)*AB = (1/2)(t²+4t²)*t = 5t³/2

二者的比为t³: 5t³/2 = 2:5

比值不变

Answer 2

首先
1） 如题建立坐标系，A点坐标（1.0），B点坐标（2.0）。
由二次函数y=x^2交AC、BD于点C、D得出C点坐标（1.1），D点坐标（2.4）.
设经过点C，D的直线L1为y=kx+b，代入两点坐标后求得L1：y=3x-2. H点坐标（0.-2）。
设经过点O，C的直线L2为y=kx+b，代入两点坐标后求得L2：y=x M点坐标（2.2）。
因为，OA=1，OB=2，OC=根号2，CD=根号20，BM=2，AB=1，BD=4，AC=1。.
所以，S梯形ABMD=(AC+BD)*AB/2=5/2, S梯形ABMC=（AC+BM)*AB=3/2
S△CMD=S梯形ABMD- S梯形ABMC=1
S△CMD:S梯形ABMC=3/2
2）若把条件中“A点的坐标为（1,0）”改为（t,0)，t>0，同理可相应得出B（2t.0）以此类推C、D、M点坐标，具体与1）一样。所以比值一样为3/2。