Question

导数的应用中这几道题怎么做！

1.不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数，说明方程f'(x)=0有几个根？并指出它们所在的区间.
2.利用拉格朗日中值定理证明/arctana-arctanb/>=/a-b/成立，/斜杠表示绝对值。
3.从半径为R的圆形铁片中剪去一个扇形，将剩余部分围成一个圆锥形漏斗，问剪去的扇形的圆心角多大时，才能使圆锥形漏斗的容积最大？
4.利用洛必达法则求极限。题目就是那张图。

Answer 1

一,3个根。罗尔定理。f(1)=f(2)=f(3)=f(4)，所以有f'(s1)=f'(s2)=f'(s3)=0,1<s1<2,2<s2<3,3<s3<4
二,(你确定是>=号?我由拉格朗日中值定理证出的是<=)(1)a=b时显然成立.(2)a>b时,去掉绝对值符号 令f(x)=arctanx,x属于[b,a],由拉格朗日中值定理得[f(a)-f(b)]/(a-b) = f'(s) = 1/(1+s^2) <=1 所以原不等式成立。
三,先把圆锥的体积表示成V(θ)的形式，然后求导数，导数为0点就是容积最值，代入，最大的一个值就是最大值。
四，e^(-2/π)。幂指函数求导数，u^v=exp{v•lnu}