Question

已知M＞1，直线l：x-my-m^2/2=0椭圆C：x^2/m^2+y^2=1,F1、F2分别为椭圆的左右焦点,直线与椭圆

已知M＞1，直线l：x-my-m^2/2=0椭圆C：x^2/m^2+y^2=1,F1、F2分别为椭圆的左右焦点,直线与椭圆交于A、 B，三三角形AF1F2与BF1F2垂心分别为G,H,若原点在以GH为直径的圆内，求M的范围

Answer 1

分析：
三角形重心在中线上距顶点三分之二处。∠AOB=∠GOH。
若要O在以GH为直径的三角形内，则必有∠GOH为钝角（O在圆上为直角，圆外为锐角），即∠AOB为钝角。
对于直线l，它与x，y轴焦点为（m^2/2，0），（0，-m/2）。x轴交点在正半轴，y轴交点在负半轴。
分析完毕。
解答：
1.当 m^2/2≤m，-m/2≥-1，m>1时，即1<m≤2。A在第三象限，B在第一象限，∠AOB比为钝角。特别地，m=2时，B在x轴而A在y轴，∠AOB为直角，O在圆上。所以，1<m<2。
2.当 m^2/2>m，-m/2<-1，m>1时，m>2。此时若有交点（可能没交点）则AB必然均在第四象限，∠AOB为锐角，O在园外。

综上，1<m<2。

追问

为什么∠AOB=∠GOH。

Answer 2

：（Ⅰ）解：因为直线l：x-my- m22=0，经过F2（ m2-1，0），

所以 m2-1= m22，得m2=2，

又因为m＞1，所以m= 2，

故直线l的方程为x- 2y-1=0．

（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由 {x=my+m22x2m2+y2=1，消去x得

2y2+my+ m24-1=0

则由△=m2-8（ m24-1）=-m2+8＞0，知m2＜8，

且有y1+y2=- m2，y1y2= m28- 12．

由于F1（-c，0），F2（c，0），故o为F1F2的中点，

由 AG→=2GO→， BH→=2 H0→，可知G（ x13， y1，3），h（ x23， y，2，3）

|GH|2= (x1-x2)29+ (y1-y2)29

设M是GH的中点，则M（ x1+x26， y1+y26），

由题意可知2|MO|＜|GH|

即4[（ x1+x26）2+（ y1+y26）2]＜ (x1-x2)29+ (y1-y2)29即x1x2+y1y2＜0

而x1x2+y1y2=（my1+ m22）（my2+ m22）+y1y2=（m2+1）（ m28-12）

所以（ m28-12）＜0，即m2＜4

又因为m＞1且△＞0

所以1＜m＜2．

所以m的取值范围是（1，2）．

Answer 3

哦