Question

设集合A={1，2，3,4}，则从A到A的映射f中，满足f[f（x）]=f（x）的映射的个数是（　　）

Answer 1

令f(A) = B，且f(x) = y ∈ B，从而若要使得f[f(x)] = f(x)，则必须 f(y) = y ∈ B，注意这里B是A的子集。
B的元素个数（即|B|）可能是1、2、3或者4.
如果|B| = 1，即B = {a}，那么对任意的x ∈ A, f(x) ≡ a，此时共有C(4,1) = 4个映射满足题设条件。
如果|B| = 2，即B = {a, b}，那么必然f(a) = a, f(b) = b，且对任意x ∈ A, f(x) = a或b. a和b有C(4,2) = 6种组合，而每当a和b固定时，f的选择又有4种，因此此时共6 * 4 = 24个映射。
如果|B| = 3，即B = {a, b, c}，那么必然f(a) = a, f(b) = b, f(c) = c，且对任意x ∈ A, f(x) = a或b或c. a, b, c有C(4,3) = 4种组合，而每当a, b, c固定时，f的选择有3种，因此此时共4 * 3 = 12个映射。
最后，如果|B| = 4，那么唯一的可能就是整个A上的恒同映射，1种。
所以，总计有4 + 24 + 12 + 1 = 41种满足题设条件的映射。
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只是提供个思路，不保证计算无误……反正我经常算错。