Question

已知△ABC中，AC=BC，∠C=120°，点D为AB边的中点，∠EDF=60°，DE、DF分别交

已知△ABC中，AC=BC，∠C=120°，点D为AB边的中点，∠EDF=60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点
（1）如图（第26题图1），若EF//AB，求证：DE=DF
（2）如图（第26题图2），若EF与AB不平行。则问题（1）的结论是否成立？说明理由。

Answer 1

第一个问题是第二个问题的特殊情况，DE＝DF恒成立，与EF、AB是否平行无关。
∵∠ECF＝120°、∠EDF＝60°，∴C、E、D、F共圆。
∵AC＝BC、AD＝BD，∴∠DCE＝∠DCF，结合证得的C、E、D、F共圆，得：DE＝DF。

追问

第二小题成立么

追答

一定是成立的。已经给出证明了。

追问

能详细点么 很多人说不成立用反推法 我初二

追答

过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N。
∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，又∠ACB＝120°，∴∠A＝∠B＝（180°－∠ACB）/2＝30°，
∴∠ADM＝∠BDN＝60°，∴∠MDN＝180°－∠ADM－∠BDN＝60°。
∵AC＝BC、AD＝BD，∴∠ACD＝∠BCD，∴DM＝DN。

由∠MDN＝60°、∠EDF＝60°，可知：
一、当M与E重合时，N就一定与F重合。此时：
　　DM＝DE、DN＝DF，结合证得的DM＝DN，得：DE＝DF。

二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间。此时：
　　∠EDM＝∠EDF－∠MDF＝60°－∠MDF，
　　∠FDN＝∠MDN－∠MDF＝60°－∠MDF，
　　∴∠EDM＝∠FDN，又∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，∴△DEM≌△DFN，
　　∴DE＝DF。

三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间。此时：
　　∠EDM＝∠MDN－∠EDN＝60°－∠EDN，
　　∠FDN＝∠EDF－∠EDN＝60°－∠EDN，
　　∴∠EDM＝∠FDN，又∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，∴△DEM≌△DFN，
　　∴DE＝DF。

综上一、二、三所述，得：DE＝DF。

追问

我没分类讨论

追答

当题目给定了图，确定了E、F的位置后，按图中E、F的位置处理就可以了。
但当E、F的位置不确定时，就需要讨论。

Answer 2

MKAM= 32．（2分）解答：解：（1）①在Rt△ABC中，D是AB的中点，∴AD=BD=AD= 12AB，∠B=∠BDC=60°又∵∠A=30°，∴∠ACD=60°-30°=30°

Answer 3

解：（1）∵EF∥AB．

∴∠FEC=∠A=30°．
∠EFC=∠B=30°
∴EC=CF．
又∵AC=BC
∴AE=BF
D是AB中点．
∴DB=AD
∴△ADE≌△BDF．
∴DE=DF
（2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
又∵∠ACB=120°，
∴∠A=∠B=（180°-∠ACB）÷2=30°，
∴∠ADM=∠BDN=60°，
∴∠MDN=180°-∠ADM-∠BDN=60°．
∵AC=BC、AD=BD，
∴∠ACD=∠BCD，
∴DM=DN．
由∠MDN=60°、∠EDF=60°，可知：
一、当M与E重合时，N就一定与F重合．此时：
DM=DE、DN=DF，结合证得的DM=DN，得：DE=DF．
二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．此时：
∠EDM=∠EDF-∠MDF=60°-∠MDF，
∠FDN=∠MDN-∠MDF=60°-∠MDF，
∴∠EDM=∠FDN，
又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN，
∴△DEM≌△DFN，
∴DE=DF．
三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．此时：
∠EDM=∠MDN-∠EDN=60°-∠EDN，
∠FDN=∠EDF-∠EDN=60°-∠EDN，
∴∠EDM=∠FDN，
又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN，
∴△DEM≌△DFN，
∴DE=DF．
综上一、二、三所述，得：DE=DF．