Question

线性代数 判断下列向量组是否线性相关

α=（1，1，3） β=（2，4，1） γ=（1，-1，0）δ=（2，4，6） 我知道是相关 因为 3个方程 4个未知量 就肯定有一个是 自由未知量了 肯定是线性相关 但是要理由 怎么算呢？ 我算到后面
1 2 1 2
0 1 -1 1
0 0 -5 5 等于这样了 接下来如何算呢。。突然有点懵了
求详细运算 谢谢大家了哈

Answer 1

可以用一个比较慢但容易理解的办法
若线性相关(至少有一个向量可以用其他向量线性表示），则有：
δ=Aα+Bβ+Cγ
得到方程组：2=1*A+2*B+1*C
4=1*A+4*B+(-1)*C
6=3*A+1*B+0*C
可以解出A、B、C，所以线性相关。
或者：
如果已经化到上面的

1 2 1 2
0 1 -1 1
0 0 -5 5
用第二列的（2 1 0）减去两倍的第一列【即减去2*（1 0 0）】，得到新的第二列（0 1 0）
得到1 0 1 2
0 1 -1 1
0 0 -5 5
再用第三列（1 -1 -5）依次减去第一列，加上第二列，得到（0 0 -5），再提取-5倍得到新的（0 0 1），得：
1 0 0 2
0 1 0 1
0 0 1 5
最后，用第四列的（2 1 5）减去2倍的(1 0 0),，减去（0 1 0），减去5倍的（0 0 1）得：
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
可以看出线性相关（矩阵的秩为3，但有4列）

追问

我看书上说 不是只能用 初等行变换哇？ 求解~~·

追答

本来你应该写成
1 1 3
2 4 1
1 -1 0
2 4 6
再实施行变换的。
书本上一般是要求用行变换，以书为主；不过你写成3行4列，就相当于转置，也未尝不可。
在这个问题上，行变换与列变换没太大差别，真正要注意的是若只实施行变换这题就应一直用行变换，若实施列变换来判断就应一直用列变换，不可混合使用。
其他方面的问题一般都用行变换，有的问题也可以先转置再实施行变换（本质上就是列变换）

追问

好的 谢谢了哈 我是在看自考的线性代数哈 以后还有不多的 也希望能问你哈 再次感谢= =

Answer 2

用矩阵来算比较简单
这四个向量组成的一个四行三列的矩阵的秩是3，意思肯定有一个向量是可以用另外三个来表示的

Answer 3

正确解法：向量组中向量的个数大于向量的维数时，一定线性相关。
本题中向量个数为4，向量维数为3.

追问

我知道肯定相关 未知量4个 方程3个 肯定相关 但是 除了这 没有其他的证明方法么？ 谢谢

追答

向量组中向量的个数大于向量的维数时，一定线性相关。
这是一条判定向量组相关性的定理。
本题中没有未知量也没有方程。

追问

可能我表达的不对哈 但是我一看 也知道是相关的 就是向量数大于维数麻 可是原因的话 除了这个 有没有能算出来的呢？

追答

下面两位的都是正确解答：
1、考虑向量组的秩，即对应矩阵的秩；
2、直接把线性表示式求出来，实际是利用相关性定义。