Question

过抛物线y^2=4x的焦点F的直线l与它交与AB两点，求弦AB的中点的轨迹方程

Answer 1

当直线斜率不存在时，L与X轴垂直，AB为通径，F（2，0）就是AB的中点；
当直线斜率存在时，可设直线L的方程为y=k(x-2),代入抛物线y2=4x中，
整理得：k2x2-(4k2+4)x+4k2=0①
设A（x1,kx1-2k）B(x2,kx2-2k),由韦达定理得：x1+x2=(4k2+4)/k2, x1.x2=4②
AB的中点M（x,y）,x=(x1+x2)/2=(2k2+2)/k2③，
y=[(kx1-2k)+(kx2-2k)]/2=2/k④,则k=2/y,代入③
有y2=2(x-2),F（2，0）也满足该式，综上所述，AB的中点M的轨迹方程是y2=2(x-2)其中x≥2

Answer 2

解：由题知抛物线焦点为（1，0）
设焦点弦方程为y=k（x-1）
代入抛物线方程得所以k2x2-（2k2+4）x+k2=0
由韦达定理：
x1+x2= 2k2+4k2
所以中点横坐标：x= x1+x22= k2+2k2
代入直线方程
中点纵坐标：
y=k（x-1）= 2k．即中点为（ k2+2k2， 2k）
消参数k，得其方程为
y2=2x-2
故答案为：y2=2x-2