Question

大学数学关于定积分的一道证明题：

已知f(x)在[a,b]上有连续的导数，且f(a) = 0，证明：
| f(x)f'(x) | 由a到b的积分值 小于等于 [(b-a)/2] 乘以 [f'(x)]^2由a到b的积分值

Answer 1

记g(x)=积分（从a到x）|f'(t)|dt，则g‘(x)=|f'(x)|，g(x)>=|f(x)|=|积分（从a到x）f'(t)|，于是
不等式左边<＝积分（从a到b）g(x)g'(x)dx=1/2g^2(x)|(下限a上限b)＝1/2g^2(b)=1/2（积分(从a到b)f'(x)dx）^2<=1/2（积分(从a到b)1^2dx）^2（积分(从a到b)(f'(x))^2dx）^2=右边。最后一个不等号是Cauchy-Schwartz不等式

Answer 2

这个问题是错误的。
a=0,b=1
f(x)=x, f'(x)=1
| f(x)f'(x) | 由a到b的积分值=b^2-a^2=1
[(b-a)/2] 乘以 [f'(x)]^2由a到b的积分值=(b-a)^2/2=1/2
显然b^2-a^2不能小于等于(b-a)^2/2