Question

初三数学圆证明题一道。

如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为 的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H．
（1）求证：AB是半圆O的切线；
（2）若AB=3，BC=4，求BE的长．
百度吞图两次了，再发一次⋯⋯

Answer 1

⑴连接CE，∴BC是直径，∴∠E=90°，AD⊥BE，∴CE∥AD，
∴∠ECF=∠CAD=∠BAD，∵弧CE=弧EF，∴∠ECF=∠CBE，
∴∠CBE=∠BAD，∵∠ADB+∠CBE=90°，∴∠ADB+∠BAD=90°
∴∠ABD=90°，∴AB为半圆O的切线。
⑵若能应用角平分线分的比等于夹这个角两边的比很容易，即BD∶CD=AB∶AC=3∶5，
可得BD=1.5，CD=2.5，，RT△BEC∽RT△ABD，∴CE∶BE=BD∶AB=1∶2，
又BC=4，在RT△BEC中可得BE=8√5/5。
否则：
设AC与BE相交于G，由垂直加角平分线易得全等，从而DB=DG，DG⊥AC，
在RT△CDG中，CD+DG=4，AG=5-3=2，根据勾股定理可得：BD=1.5。以下用相似。

Answer 2

⑴连接CE，∴BC是直径，∴∠E=90°，AD⊥BE，∴CE∥AD，
∴∠ECF=∠CAD=∠BAD，∵弧CE=弧EF，∴∠ECF=∠CBE，
∴∠CBE=∠BAD，∵∠ADB+∠CBE=90°，∴∠ADB+∠BAD=90°
∴∠ABD=90°，∴AB为半圆O的切线。
⑵若能应用角平分线分的比等于夹这个角两边的比很容易，即BD∶CD=AB∶AC=3∶5，
可得BD=1.5，CD=2.5，，RT△BEC∽RT△ABD，∴CE∶BE=BD∶AB=1∶2，
又BC=4，在RT△BEC中可得BE=8√5/5。
否则：
设AC与BE相交于G，由垂直加角平分线易得全等，从而DB=DG，DG⊥AC，
在RT△CDG中，CD+DG=4，AG=5-3=2，根据勾股定理可得：BD=1.5。以下用相似。

Answer 3

连接CE，∴BC是直径，∴∠E=90°，AD⊥BE，∴CE∥AD，
∴∠ECF=∠CAD=∠BAD，∵弧CE=弧EF，∴∠ECF=∠CBE，
∴∠CBE=∠BAD，∵∠ADB+∠CBE=90°，∴∠ADB+∠BAD=90°
∴∠ABD=90°，∴AB为半圆O的切线。
⑵若能应用角平分线分的比等于夹这个角两边的比很容易，即BD∶CD=AB∶AC=3∶5，
可得BD=1.5，CD=2.5，，RT△BEC∽RT△ABD，∴CE∶BE=BD∶AB=1∶2，
又BC=4，在RT△BEC中可得BE=8√5/5。
否则：
设AC与BE相交于G，由垂直加角平分线易得全等，从而DB=DG，DG⊥AC，
在RT△CDG中，CD+DG=4，AG=5-3=2，根据勾股定理可得

Answer 4

能上图么？没图不好做