Question

考研数学证明题

Answer 1

大哥，都考研了，别忘了高中的东西啊。。我写一下。。
取对数那么就是要证明b^alna>a^blnb，两边都是正数，可以再取对
得到alnbln(lna)>blnaln(lnb)
如果a≥e≥b，左非负右非正，显然
如果a>b>e，除一下[aln(lna)]/lna>[bln(lnb)]/lnb(a=e>b,左零右负，a>e=b,左正右零，显然)
设f(x)=xln(lnx)]/lnx(x>e),f'(x)=[ln(lnx)*lnx+1-ln(lnx)]/(lnx)^2，lnx>1，ln(lnx)>0，ln(lnx)*lnx+1-ln(lnx)≥0+1=1,导数恒正，f(x)递增，f(a)>f(b)
e≥a>b时，除一下还是[aln(lna)]/lna>[bln(lnb)]/lnb
设f(x)=xln(lnx)]/lnx(1<x<e),f'(x)=[ln(lnx)*lnx+1-ln(lnx)]/(lnx)^2，lnx<1，ln(lnx)<0，ln(lnx)*lnx+1-ln(lnx)还是大于等于1，f(a)>f(b)

追问

b^alna>a^blnb
到
alnbln(lna)>blnaln(lnb)
好像不对呀！
应该是：alnb+ln(lna)>blna+ln(lnb)

追答

好像是喔。。
那就f(x)=xlnb+ln(lnx)-blnx-ln(lnb)
只需证f'(x)在(b,+无穷)>0
f'(x)=lnb+1/(x*lnlnx)-b/x=xlnxlnb+1-blnx（分母恒正，忽略了）
当x>=b/lnb>=e (blnb>=e对b>1恒成立，可求导证明) 时，x*lnb>b*lnx(设g(x)=x*lnb-b*lnx，g'(x)=lnb-b/x>=0，f'(x)( 的分子)>=xlnb+1-blnx>=1
当b/lnb>x>b>1时，f'(x)(的分子)>=lnx(x*lnb-1)+1，不太显然。。再求一次导(仅对分子)f''(x)=xlnb+lnb-b/x>blnb+lnb-lnb=blnb>0
所以f'(x)(的分子)>=f'(b)(的分子)=lnb(blnb-1)+1>blnb-1+1(b/lnb>x>b推出lnb0
哎。。好无赖的方法。。反正结论就摆在那里。。怎么绕都能绕过去。。你再看看有没有错。。

Answer 2

取对数呢，指数一般都这么处理

Answer 3

很简单

追问

那你帮助解决一下吧！

追答

明天回答你

Answer 4

取对数，再证明。