Question

设函数y=f(x)是定义域为R，并且满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y），f（1／3）＝1，且当x＞0时，f（x）>0

1．求f（0）值
2．判断函数奇偶性
3．如果f（x）＋f（2＋x）＜2，求x的取值范围
有过程，谢谢

Answer 1

1.∵f(1/3+0)=f(1/3)+f(0)=1
∴f(0)=0
2.f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
移项
f(-x)=-f(x)
∴函数f(x)是奇函数
第3.
2可以换成f(2/3)
原式f(x)+f(2+x)<f(2/3)
变成f(2x+2)<f(2/3)有
2x+2<2/3
x<-2/3

Answer 2

1.f(x+y)=f(x)+f(y)
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
2.f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
f(x)=-f(-x)
所以函数是奇函数
3.f(2x+2)<f(2/3)
因为当x＞0时，f（x）>0
所以当x＞0时，是增函数
2x+2<2/3
x<-2/3

Answer 3

f(x+y)=f(x)+f(y)
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
2 f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
f(x)=-f(-x)
所以函数是奇函数
3 f(2/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
f(2x)=2f(x) 所以 f(x)是增函数
f(x)+f(2+x)<2
f(2+2x)<2
f(2+2x)<f(2/3)
2+2x<2/3
x<-2/3

Answer 4

f(x+y)=f(x)+f(y)
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
2 f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
f(x)=-f(-x)
所以函数是奇函数
3 f(2/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
f(2x)=2f(x) 所以 f(x)是增函数
f(x)+f(2+x)<2
f(2+2x)<2
f(2+2x)<f(2/3)
2+2x<2/3
x<-2/3