Question

求解题步骤：

对下列实对称矩阵A，求一个正交矩阵P，使P^-1AP=P^TAP=D为对角矩阵
2 1 0
1 3 1
0 1 2

Answer 1

解: |A-λE|=
2-λ 1 0
1 3-λ 1
0 1 2-λ

r1-r3
2-λ 0 λ-2
1 3-λ 1
0 1 2-λ

c3+c1
2-λ 0 0
1 3-λ 2
0 1 2-λ

= (2-λ)[(3-λ)(2-λ)-2]
= (2-λ)(λ^2-5λ+4)
= (2-λ)(1-λ)(4-λ)

所以A的特征值为1,2,4.

(A-E)x=0 的基础解系为: a1=(1,-1,1)^T
(A-2E)x=0 的基础解系为: a2=(1,0,-1)^T
(A-4E)x=0 的基础解系为: a3=(1,2,1)^T

单位化得: b1=(1/√3,-1/√3,1/√3)^T, b2=(1/√2,0,-1/√2)^T, b3=(1/√6,2/√6,1/√6)^T
令P=(b1,b2,b3), 则P为正交矩阵, P^-1=P^T, 且 P^=1AP=diag(1,2,4).

Answer 2

先求特征值 2 1 5 再求特征向量
1 1 0
0 -1 0
-1 1 0
好像不太对 思路是这个 你自己算算