Question

对下列实对称矩阵A，求一个正交矩阵P，使P^-1AP=P^TAP=D为对角矩阵 2 0 0 0 -1 3 0 3 -1

对下列实对称矩阵A，求一个正交矩阵P，使P^-1AP=P^TAP=D为对角矩阵
2 0 0
0 -1 3
0 3 -1

Answer 1

解: |A-λE|=
2-λ 0 0
0 -1-λ 3
0 3 -1-λ

= (2-λ)[(-1-λ)^2-3^2]
= -(2-λ)^2(4+λ).

所以A的特征值为: 2,2,-4.
(A-2E)X=0 的基础解系为: a1=(1,0,0)',a2=(0,1,1)'
(A+4E)X=0 的基础解系为: a3=(0,1,-1)'

a1,a2,a3 两两正交, 下面单位化得
b1=(1,0,0)'
b2=(0,1/√2,1/√2)'
b3=(0,1/√2,1/√2)'

令P=(b1,b2,b3), 则P可逆, P^-1=P^T, 且 P^=1AP=diag(2,2,-4).

Answer 2

asdas