Question

已知中心在原点的双曲线c的右焦点为(2,0),右顶点为(根号3,0),若直线y=kx+m与双曲线交于不同点m，n

且线段mn的垂直平分线过点a（-1,0），求实数m的取值范围，k不等于0，m不等于0

Answer 1

联立y=kx+m,x^2/3-y^2=1得：
(1-3k^2)x^2-6kmx-3(m^2+1)=0
因为y=kx+m与双曲线有两个不同交点
所以 判别式大于0 且 1-3k^2不等于0
即m^2>3k^2-1
设M(X1，Y1),N(X2，Y2),MN中点P（X0，Y0）
则x0=1/2(x1+x2)=(3kmx)/(1-3k^2) y0=kx0+m=m/(1-3k^2)
因为AP垂直于MN
所以kAP*kMN=-1
即[m/(1-3k^2)+1]/[3km/(1-3k^2)]=-1/k
所以有3k^2=4m+1
带入前面的m^2>3k^2-1中得：m<0或m>4
又有3k^2=4m+1>0
所以m>-1/4
综上m∈（-1/4,0）∪(4,正无穷)