Question

这道极限定理为什么要加一个没用的条件

定理6(复合函数的极限运算法则) 设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成 f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义 若lim(x→x0)g(x)=u0 lim(u→u0)f(u)=A 且存在δ0＞0 当x属于U的去心邻域(x0,δ0)时 有g(x)≠u0 则lim(x→x0)f[g(x)]=lim(u→u0)f(u)=A

我就搞不明白 为什么要加上且存在δ0＞0 当x属于U的去心邻域(x0,δ0)时 有g(x)≠u0

你可能会回答 如果g(x)=u0 y=f[u]在u0处未必有定义 这个理由似乎不对呀 前面已经说了f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义 也就是说y=f[g(x)]中的x在其定义域内取的任何值都一定能使y=f[u]有定义了 这不矛盾吗?难不成 (x0,δ0)取了f[g(x)]定义域以处值 那那样 似乎连u=g(x)都有可能没定义了呀

也可能回答 如果g(x)=u0 lim(u→u0)f(u)不一定等于f(u0) 这样也不对呀 就算lim(u→u0)f(u)不等于f(u0) 又有什么关系 反正x→x0的意思就是无限接近 但不取 也就是说x≠x0 只要x≠x0 那即便有x能使g(x)=u0 与lim(x→x0)f[g(x)]=lim(u→u0)f(u)=A有什么关系?原题只是让lim(x→x0)f[g(x)]=lim(u→u0)f(u) 又没说lim(x→x0)f[g(x)]=f(u0) ;lim(u→u0)f(u)等不等f(u0)与lim(x→x0)f[g(x)]=lim(u→u0)f(u)有个屁关系

到底是怎么回事呀

Answer 1

函数极限中必须要求x位于x0的去心邻域，在复合函数中就要求内层函数g(x)的函数值必须不等于外层函数f（u）中的u0。若发生这种情况，比如f(u0)是A+1，则当x充分靠近x0时，f(g(x))的函数值可能是A+1，而不会趋于A。极端例子就是f(u0)=A+1（limf(u)=A），而g(x)在x0的去心邻域内恒等于u0，这时显然limf(g(x))等于A+1，而不是A。当然，如果f是连续函数就不会有这个问题了。

追问

"若发生这种情况，比如f(u0)是A+1，则当x充分靠近x0时，f(g(x))的函数值可能是A+1，而不会趋于A"这个不对吧 比如可去间断点 y=f(x)=x x≠1 y=f(x)=1/2 x=1 此时不管x怎么充分靠近x0时 f(g(x))也不会趋于A+1

追答

我只是说明定理必须加上x趋于x0时需要g(x)不等于u0。你举得例子也说明了这一点啊。g(x)是常数函数1，则f(g(x))是常数函数1/2，limf(g(x))=1/2，但 limf(x)=1不等于limf(g(x))，当x趋于1时。

追问

"若发生这种情况，比如f(u0)是A+1，则当x充分靠近x0时，f(g(x))的函数值可能是A+1"就是说limf(g(x))可能是A 也可能是A+1了?

追答

各种可能都会发生，这说明定理结论不确定了，也就是不能写成定理的形式了。