Question

如图，在三角形ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E.试说明（1）∠CDE=∠CAB (2)若∠C=60°，求证DE=1/2AB

Answer 1

解：（1）记AD与BE交点为F
∵∠AEF=∠FDB=90°,∠AFE=∠BFD（对顶角相等）
∴ △AEF∽△BDF（AA）
∴ AF/EF=BF/DF
即 AF/BF=EF/DF
则 △AFB∽△EFD
∴ ∠BED=∠EBA
∴ AB∥ED
又 ∠ACB=∠ECD
∴ △CDE∽△CAB
∠CDE=∠CAB
（2）作DG∥AC交AB于G，则四边形AEDG为平行四边形
在△ACD中，∠ADC=90°
∠ACD=60°
∴∠CAD=30°
在平行四边形AEDG中，∠CAD=30°
∴∠EAG=60°
∴平行四边形AEDG为菱形
∴AE=ED=AG,∠A=∠CED=60°
∴CE=ED
即CE=AE,又AB∥ED
∴ED为△ABC的中位线
∴ED=1/2AB