Question

y^2=4x,过点M(0,2)的直线l与抛物线交于AB两点

主要是第二小题

Answer 1

(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2)
设l的方程为y=kx+2联立y^2=4x消去x得：ky^2-4y+8=0，y1+y2=4/k，y1y2=8/k。
作AA'垂直y轴，垂足为A'。作BB'垂直y轴，垂足为B'。MO=2，MO^2=4
MA'=2-y1，MB'=2-y2。Ma'*MB'=4-2(y1+y2)+y1y2=4-8/k+8/k=4=MO^2。
所以，MA'、MO、MB'成等比数列。
由三角形的相似关系可知，MA、MC、MB成等比数列。
(2)用a代表“阿尔法”，用b代表“呗它”
由题意知，MA=aAC，MB=-bBC。设MA、MC、MB的公比为q。
MA=(1/q)MC=(1/q)(MA+AC)，(1-1/q)MA=(1/q)AC，MA=[1/(q-1)]AC，a=1/(q-1)。
MB=qMC=q(MB-BC)，(q-1)MB=qBC，MB=[q/(q-1)]BC，b=-q/(q-1)
a+b=1/(q-1)-q/(q-1)=(1-q)/(q-1)=-1(定值)。