Question

如图,已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是边BC延长线上的一点,连接AP交边CD于点E,把射

如图,一直在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是边BC延长线上的一点,连接AP交边CD于点E,把射线AP沿直线AD翻折,交射线CD于点Q,设CP=X,DQ=Y
(1)求Y关于X的解析式,及自变量的取值范围
(2)当点P运动时,△APQ的面积是否会发生变化?若发生变化,请求出△APQ的面积S关于X的函数解析式，并写出自变量的取值范围；若不发生变化，请说明理由．
（3）当以4为半径的圆Q与直线AP相切，且圆A与圆Q也相切时，求圆A的半径．

Answer 1

（1）∵翻折∴DQ=DE=y.△ADE∽△PCE.∴PC:CE=AD:DE.∴x:(3-y)=4:y∴y=12/4+x,(0<x<3)
(2)不变。,△APQ的面积=△PCQ+梯形ABCQ-△ABP=1/2×（3+y)x+(3+3+y)×4÷2-3×（4+x)÷2=6+2y+xy/2=6+(4+x)y/2=6+6=12,∴不变。
（3）当以4为半径的圆Q与直线AP相切，则Q到AP的距离为4.过Q作QF⊥AP于F，则QF=AD=4.△AQE的面积=AE×QF÷2=QE×AD÷2.∵QF=AD=4，∴AE=QE=2y.∴AQ=AE=QE=2y.在Rt△ADQ中，由勾股定理得，4y²=y²+4²，∴y=4根号3/3AQ=8根号3/3.若圆A与圆Q外切，
则圆A的半径=8根号3/3-4；若圆A与圆Q内切，
则圆A的半径=8根号3/3+4；

Answer 2

解答如图，点击可放大

Answer 3

解：（1）在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠DAP，
又由题意，得∠QAD=∠DAP，
∴∠APB=∠QAD，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ADQ∽△PBA，（1分）
∴
DQ
AB
＝
AD
BP
（2）不发生变化（1分）
证明如下：
∵∠QAD=∠DAP，∠ADE=∠ADQ=90°，AD=AD，
∴△ADE≌△ADQ，
∴DE=DQ=y；（1分）
∴S△APQ=S△AEQ+S△EPQ=
1
2
QE•AD+
1
2
QE•CP=
1
2
QE（AD+CP）=
1
2
QE•BP=DQ•BP=y×（x+4）=12；
所以△APQ的面积没有变化．

（3）过点Q作QF⊥AP于点F
∵以4为半径的⊙Q与直线AP相切，
∴QF=4（1分）
∵S△APQ=12，
∴AP=6（1分）
在Rt△ABP中，
∵AB=3，
∴∠BPA=30°（1分）
∴∠PAQ=60°，此时AD=4，DE=
4
3
3
，
∴AQ=EQ=2DE=
8
3
3
（1分）
设⊙A的半径为r，
∵⊙A与⊙Q相切，
∴⊙A与⊙Q外切或内切．
（i）当⊙A与⊙Q外切时，AQ=r+4，即
8
3
3
=r+4，
∴r=
8
3
3
−4．（1分）
（ii）当⊙A与⊙Q内切时，AQ=r-4，即
8
3
3
=r-4，则r=
8
3
3
+4
综上所述，⊙A的半径为
8
3
3
−4或
8
3
3
+4．
，即
y
3
＝
4
x+4
，
∴y＝
12
x+4
，（1分）
定义域为x＞0．（1分