Question

初三二次函数题，急！！

已知直线y=-1/2x与抛物线y=-1/4x^2交于A,B两点，在线段AB上方有一点P在抛物线上移动构成无数个三角形ABP。这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标。
错了 是抛物线y=-1/4x^2+6

Answer 1

解：
令-x/2=-x²/4+6
整理，得
x²-2x-24=0
(x-6)(x+4)=0
x=-4或x=6
x=-4时，y=-x/2=2
x=6时，y=-x/2=-3
|AB|=√[(-4-6)²+(2+3)²]=5√5
点P在直线AB上方，点P的横坐标取值范围为[-4，6]
设点P坐标(x，-x²/4+6)，对于三角形，底边长AB一定，要求最大面积，只要求点P到直线AB距离的最大值。
直线方程变形：x+2y=0
d=|x+2(-x²/4+6)|/√(1²+2²)=|-x²/2+x+12|/√5=|(-1/2)(x-1)²+25/2|/√5
-4≤x≤6
当x=1时，d有最大值5√5/2
此时有最大面积Smax=(5√5/2)(5√5)/2=125/4

追问

这个直线方程变形是怎么来的？

追答

点到直线距离公式：d=|ax+by+c|/√(a²+b²)，在求距离之前，需要把直线方程化成一般形式：ax+by+c=0
对于本题：y=-x/2，-x=2y x+2y=0

Answer 2

∵S△ABP=1/2*|AB|*P点到AB的距离
|AB|为常量，所以，要使S△ABP最大，则，P点到AB的距离最大。
由∵抛物线为开口向下且过（0，6）点的抛物线
所以，必定存在P点使三角形面积最大。
设P点坐标为(m.n)
根据题意，n=-1/4*m²+6
∴P 点到AB的距离为（根据点到直线距离公式）
|-1/2*m-n|/√(1/4+1)=|m+2n|/√5
再将|AB|求出来（肯定为定值），将n=-1/4*m²+6代入，运用二次函数求最值的方法，就可以求出P点的位置了。

Answer 3

是存在一个面积最大的三角形。
即抛物线AB段上有一点与AB直线距离最远。
设y= - 1/2 x+d 与抛物线相切
代入抛物线方程， - 1/2 x+d=-1/4x^2+6
1/4x^2 -1/2 x + d- 6=0
即 x^2 - 2x + 4(d-6)=0
判别式= 4-16（d-6）=0
求得 d=25/4
x=1，y= - 1/2 ×1+ 25/4= 23/4

把直线y=-1/2 x代入抛物线方程
1/4x^2-6-1/2 x=0, x^2-2x-24=0, 求得 x1=6，x2= - 4.

Answer 4

有 这些问题通常都有 我觉得是先用=-1/4x^2=-1/2x算出点A、B的坐标
分别是（2、-1）和（0、0）然后三角形面积等于1/2*底*高 就是抛物线距离直线最远的那点 算出P点
详细自己算

知道答案告诉我额= =

Answer 5

已解答

追问

抱歉 刚才题打错了 抛物线式y=-1/4x^2+6

Answer 6

存在，三角形的底固定，要是面积最大，则高要最大，有图像可得，高最大为6，此时P点（0.6），面积为1/2乘以6再乘以4被根号6等于12倍根号6