Question

如图，点D在三角形的边BC上，且与B、C不重合,过点D作AC

点D在三角形ABC的边BC上，且与B、C不重合,过点D作AC的平行线DE交AB于E,作AB的平行线DF交AC于点F,又知BC=5.
1.设三角形ABC的面积为S,若四边形AEDF的面积为(2/5)S,求BD的长;
2.若AC=(根号2)AB,且DF经过三角形ABC的重心G,求E、F两点的距离.
要有详细的解题过程.

Answer 1

（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴△BDE∽△BCA∽△DCF，
记S△BDE=S1，
S△DCF=S2，
∵SAEFD= 2／5S，
∴S1+S2=S- 2／5S= 3／5S．①
√S1／√S= BD／BC， √S2／√S= CD／BC，
于是 √S1／S+ √S2／S= ﹙BD+CD﹚／BC=1，即 √S1+√ S2= √S，
两边平方得S=S1+S2+2 √﹙S1S2﹚，
故2 √﹙S1S2﹚=SAEFD= 2／5S，即S1S2= 1／25S2．②
由①、②解得S1= ﹙3±√5﹚／10S，即 S1／S=﹙ 3±√5﹚／10．
而 S1／S= (BD／BC)²，即 ﹙3±√5﹚／10= (BD／5)2，解得BD= ﹙5±√5﹚／2．
（2）由G是△ABC的重心，DF过点G，且DF∥AB，可得 CD／CB= 2／3，则DF= 2／3AB．
由DE∥AC， CD／CB= 23，得DE= 1／3AC，
∵AC= ∨2AB，∴ AC／AB=√ 2， DF／ED= 2AB／√﹙2AB﹚=√ 2，
得 DF／DE= AC／AB，即 DF／AC= DE／AB，
又∠EDF=∠A，故△DEF∽△ABC，
得 EF／BC= DE／AB，所以EF= 5√2／3．