Question

线代……讨论可逆矩阵A与A的逆矩阵的特征值与特征向量的关系。

Answer 1

A与A^-1的特征值互为倒数, 且特征向量相同。矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。

一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。

扩展资料：

矩阵的特征值无法通过特征多项式计算，计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔－鲁费尼定理显示高次（5次或更高）多项式的根无法用n次方根来简单表达。

对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值的小误差可以导致特征向量的巨大误差。最简单的方法是幂法：取一个随机向量v，然后计算一系列单位向量。这个序列几乎总是收敛于绝对值最大的特征值所对应的特征向量。但是，象QR算法这样的算法正是以此为基础的。

参考资料来源：百度百科-特征向量

Answer 2

A与A^-1的特征值互为倒数, 且特征向量相同 请看图片中的(2)

Answer 3

特征值互为倒数。入是A的特征值，则1/入是A的逆矩阵的特征值。
|入E-A|=0→|（1/入）E-A的逆矩阵|=0
特征向量相同：X是A的特征向量，X也是A的逆矩阵的特征向量。
AX=入X，→A的逆矩阵X=（1/入）X