Question

在正方形ABCD中，P是AB边上的任一点(A,B除外)，线段PD绕P点旋转90度后到PE，交BC于F,连结DF、BE，

(1)求证：角ADP＝角BPF；（2）求角FBE的度数；（3）当AD/AP为何值时，三角形DPF与三角PBF形相似？

Answer 1

(1)因为角DPE=90°，所以 角BPF+角DPA=90=90°
又因为ABCD为正方形，所以，角A=90°，角ADP+角DPA=90°
所以角ADP＝角BPF
（2）在AD上取一点G，使得AG=AP
因为ABCD为正方形,则AD=AB, AD-AG=AB-AP，所以DG=PB
由（1）证得角ADP＝角BPF，又已知PD=PE,
所以△PGD≌△EBP，角PGD=角EBP
而角PGD=180°-∠PGA=135°，所以角EBP=135°，角FBE=角EBP-90°=45°
（3）如果三角形DPF与三角PBF形相似，则角DFP=角PFB, ∠角BPF=角PDF，
而角BPF=角ADP，所以角PDF=角ADP
过P作DF的垂线交DF于M,并连接PM, 则AP=PM=PB
AP=1/2AB=1/2AD,
所以当AD/AP为2时，三角形DPF与三角PBF形相似

Answer 2

①证明:PE垂直PD,则∠EPB+∠APD=90°;
又∠ADP+∠APD=90°.
所以,∠ADP=∠EPB.
②解:在AD上截取线段AQ=AP,连接PQ,则DQ=PB;∠AQP=∠APQ=45°,∠DQP=135°.
又PD=PE;∠ADP=∠EPB.故⊿DQP≌⊿PBE,∠PBE=∠DQP=135°,∠CBE=45°.
③当AQ=AP时,PQ=BE.
证明:AQ=AP时,DQ=PB;
又PD=PE;∠ADP=∠EPB.故⊿DQP≌⊿PBE,得PQ=BE.

Answer 3

（1）∵∠FPC=90度，PD=PF
∴∠PDC=45度
∵∠ADC=90度
∴∠ADP=45度
∵∠PAD=90度
∴∠APD=45度
∵∠BPF=180度-45度-90度=45度
∴∠ADP=∠BPF

Answer 4

(1)因为角DPE=90°，所以 角BPF+角DPA=90=90°
又因为ABCD为正方形，所以，角A=90°，角ADP+角DPA=90°
所以角ADP＝角BPF
（2）在AD上取一点G，使得AG=AP
因为ABCD为正方形,则AD=AB, AD-AG=AB-AP，所以DG=PB
由（1）证得角ADP＝角BPF，又已知PD=PE,
所以△PGD≌△EBP，角PGD=角EBP
而角PGD=180°-∠PGA=135°，所以角EBP=135°，角FBE=角EBP-90°=45°
（3）如果三角形DPF与三角PBF形相似，则角DFP=角PFB, ∠角BPF=角PDF，
而角BPF=角ADP，所以角PDF=角ADP
过P作DF的垂线交DF于M,并连接PM, 则AP=PM=PB
AP=1/2AB=1/2AD,
所以当AD/AP为2时，三角形DPF与三角PBF

Answer 5

过E点做BC平行线与PB相较于H点， 故PH⊥HE，
∵PD绕P点旋转90度后到PE∴PD=PE ∴△ADP≌△HPE
∴∠ADP=∠BPF

追问

您只回答了（１），正确，但麻烦。不做辅助线也可得证。您试试？后两题咋办？

Answer 6

不知道