Question

关于高一数学新教材的利用三角函数证明题目

已知α为锐角 利用三角函数线证明：α>sinα 还有sinα+cosα>1 还有sinα<α<tanα(这题利用单位圆中的三角函数线证明)

Answer 1

方法：将sinα、α、tanα转化为单位圆中的线段或弧线。

 如图，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，AT是切线。

则有sinα=MP/OP=MP，cosα=OM/OP=OM，tanα=AT/OA=AT          (注：单位圆的半径为1 ）

α=弧AP/r=弧AP       (注：弧长与半径的比等于圆心角的弧度数的绝对值。r=1为半径）

（1）易知 MP<弦AP<弧AP  ，所以  sinα<α

  (2)   三角形两边之和大于么三边，|MP|+|OM|>|OP|，即

　　　　　　　　sinα+cosα>1

（3）S扇形OAP= 弧AP•r/2=弧AP/2=α/2，

     S⊿OAT=OA•AT/2=AT/2=(tanα)/2

因为 S扇形OAP < S⊿OAT ，所以α/2<(tanα)/2，

即α<tanα

从而，当α为锐角时，有 sinα<α<tanα

Answer 2

如图，在单位圆O中，角OAB=a，则弧AB=a，BN=sin
a，AM=tan
a,比较这几条段可知有：sin
a
<
a
<
tan
a，又ON=cos
a，根据三角形两边之和大于第三边可知，ON+NB>OB=1，故：sin
a
+
cos
a
>1

Answer 3

α为单位圆（以原点O为中心的）中一个锐角，A为圆上一点，B为圆到x轴上的点，C为X轴与圆的交点，D为延长OA与C点处垂线的交点。
则，AB=sin
α,OB=cos
α,OC=1,CD=tan
α,则AB+OB>OA,即sin
α+cos
α>1
又
三角形OAC的面积<扇形OAC的面积<三角形ODC的面积,则1/2sin
α<
1/2α<1/2tan
α，即sin
α<
α<tan
α