Question

n 阶矩阵A 的伴随矩阵A*, 若b1,b2,b3,b4 是非齐次线性方程组AX=0的互不相等的解，则对应的齐次线性方程

求基础解系有几个无关向量，答案是一个。用伴随矩阵和矩阵的秩的关系易得到答案，可是换一种想法因为A*=A的行列式乘以A的逆矩阵，因为A*不等于零，那么一定有A的行列式不等于零，所以A的秩不就等于n了吗？那齐次方程组不就没有无关向量了吗？搞不懂为什么，寻求帮助！

Answer 1

”因为A*=A的行列式乘以A的逆矩阵“这句话是错的，必须在A可逆的前提条件下才对。当A不可逆时，这句话就不对了。不过你题目给的信息明显不全，没法进行分析。

追问

题目还有一个条件就是A*不为零！

追答

不是A*不为0就行，可逆必须是行列式不为0。比如【1 0； 0 0】这个2*2的矩阵非零，但行列式为0，不可逆。

追问

也就是说，在不知道A是否可逆的情况下，用A*=A的行列式乘以A的逆这本身就是错的！对吧，所以·····要换思路了！是吧？

追答

要看你的条件能否推出A*可逆了。

追问

设n 阶矩阵A 的伴随矩阵A*≠0, 若b1,b2,b3,b4 是非齐次线性方程组AX=b的
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系有几个无关向量？这就是完整题目！大侠做一下看看能不能推出来A可逆

追答

A必不可逆。非零向量b1-b2是Ax=0的解，齐次线性方程组有非零解则A不可逆，因此A*不可逆。另外还有一个结论：A满秩，则A*满秩，A的秩是n-1，则A*的秩是1，A的秩小于n-1，则A*=0（见http://hiphotos.baidu.com/lry31383/pic/item/75994f848d5b8a6667096e9d.jpg），因此对本题来说，A的秩必是n-1。

追问

大侠，为什么A不可逆，因此A*不可逆？

追答

我解释了：齐次线性方程组Ax=0有非零解则A不可逆，而非零向量b1-b2是Ax=0的解