Question

一道简单线性代数题。帮忙看看我的证明可不可以。

题目：解释为什么当{v1,v2,v3}是线性无关集且v4不在span{v1,v2,v3}里时，集合{v1,v2,v3,v4}是线性无关集。（v1,v2,v3,v4是R5中向量）。
我的解答：当{v1,v2,v3}线性无关时，其中任一向量均不能用另外两个向量表示。又因为v4不是v1,v2,v3的线性组合，则集合{v1,v2,v3,v4}中任一向量均不是另外三个向量的线性组合。由线性相关的定理知，若该集合是线性相关集，那么其中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。则可知{v1,v2,v3,v4}是线性无关集。

这样的解答好嘛？

Answer 1

你的回答想法是对的，回答起来有点笼统，没有反证的明确
反证
假如{v1,v2,v3,v4}是线性相关集，则存在不全为0的k1、k2、k3、k4，使得k1v1+k2v2+k3v3+k4v4=0
可知k4不为0，（这是因为如果k4是0，则k1v1+k2v2+k3v3=0，且{v1,v2,v3}是线性无关集，则k1、k2、k3均为0，这与k1、k2、k3、k4不全为0的条件不符）
所以v4=-（k1v1+k2v2+k3v3）/k4,即v4能被v1,v2,v3线性表出，这与v4不在span{v1,v2,v3}里矛盾。所以集合{v1,v2,v3,v4}是线性无关集

Answer 2

直接得到“则集合{v1,v2,v3,v4}中任一向量均不是另外三个向量的线性组合”有点太简单，貌似由前面的条件很难直接得到这个结果吧。
可以用线性相关性的定义来证明，如kissknow4所说，或者用方程组：首先，R(v1,v2,v3)=3。其次，v4不在span{v1,v2,v3}中，即v4不能用v1,v2,v3线性表示，所以方程组(v1,v2,v3)x=v4无解，所以R(v1,v2,v3,v4)＜R(v1,v2,v3,v4)，所以R(v1,v2,v3,v4)＝4，所以v1,v2,v3,v4线性无关

Answer 3

设k1v1+k2v2+k3v3+k4v4=0，有k4为0，否则若k4不为0，则v4=-(k1v1+k2v2+k3v3）/k4可由v1，v2，v3表出，矛盾。k4=0，则k1v1+k2v2+k3v3=0，于是k1=k2=k3=0，于是四个向量线性无关。
你的回答也行

Answer 4

赞同下面用反证法那个，反证法更具有说服力