Question

，抛物线与x轴交于A（x1,0）、B（x2,0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0,4），其中x1,x2是方程

x2－4x－12=0的两个根。
（1）求抛物线的解析式
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC与点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标
(3)点D（4,K)在（1）中的抛物线上，点E为抛物线上一动点，在X轴上是否存在点F，使以A.D.E.F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由

前2个问题以解决，差第三问。

Answer 1

x2－4x－12=0的两个根
x1=-2,x2=6
A(-2,0),B(6,0)
抛物线对称轴x=2
标准方程y=a(x-2)^2+b
把A,C代入得
0=16a+b
4=4a+b
两式相减得
a=-1/3,b=16/3
y=-1/3(x-2)^2+16/3
(2)设M（x0,0)
AC方程y=2(x+2)
BC方程y=-2/3(x-2)
MN方程y=-2/3(x-x0)
MN,AC联立得N((x0-6)/4,(x0+2)/2)
MN=√{[(x0-6)/4-x0]^2+[(x0+2)/2]^2}
=√13/4*(x0+2)
C到MN的距离为|4-2/3x0|/√[(2/3)^2+1]=2(4-2/3x0)/√13
所以S△CMN＝1/2*√13/4*(x0+2)*2(4-2/3x0)/√13
＝(x0+2)*(4-2/3x0)/4
=(x0+2)*(3-x0)/6
=1/6*(-x0^2+x0+6)
=-1/6*(x0^2-x0-6)
=-1/6*(x0^2-x0+1/4-1/4)+1
=-1/6*(x0-1/2)^2+1+1/24
当x0=-1/2时有最大值25/24

追问

我差第三个问题的答案，

追答

点是存在的
D（4,k),因此E（x,k)
E在抛物线上
代入抛物线方程得
k=-1/3(x-2)^2+16/3
(x-2)^2=16-k
x=2±√(16-k)
当x≥4时，x=2+√(16-k)
DE=x-4=√(16-k)-2
Fx=-2+DE=√(16-k)
F(√(16-k),0)
当x≤4时，x=2-√(16-k)
DE=4-x=√(16-k)+2
Fx=-2-DE=-√(16-k)
F(-√(16-k),0)
因此F点是存在的，且有无数个。

追问

没有无数歌啊，你在看看

追答

因为你的K值不固定啊，随着K值的变化，就有无数个了。如果K值固定，由有两个，
F(√(16-k),0)　E在x=4右边
F(-√(16-k),0)　E在x=4左边
当K＝16时，不存在平行四边形

追问

你把点D带入二次函数解析式就固定了，K=-4

追答

噢，没看到D在抛物线上，那再代入
不对啊
D在抛物线上应该只有一个点
把D代入抛物线方程得k=4
因此E(0,4)
F(-6,0)
只有这一个
好象第三问比第二问简单多了啊。这个题目很奇怪，居然第三问和第二问没关系。

追问

我用你的方法做是（2，0）和（-10，0）

追答

我刚开始看错了，因为D（4,k)，抛物线开口朝下，因此只有一个交点，那么，就只能存在一个点了。因为AF的斜率是0的限制，其实大大简化了运算。这个题目第三问出的不好，没有利用第二问的结果，并且实际从运算量上来看，运算量要比第二问小很多。

第三问很差劲，只能这么说。

你画个图形，很容易就得出那个点的。注意AF∥DE，且斜率为0。

Answer 2

x^2-4x-12=0
x1=-2,x2=6
y=ax^2+bx+c中，c=4,
x1x2=c/a=-12,a=-1/3
x1+x2=-b/a=4 ,b=4/3
y= -x^2/3+4x/3+4
x=4,y=4 D(4,4)
A(-2,0) F(x0,0)
四边形ADEF中，对角线AE的中点M
Mx=(-2+Ex)/2 My=Ey/2
如果ADEF是平等四边形DF中点也是M
Mx=(4+x0)/2 My=4/2
也就有Ey=4 Ex=0 x0=-6
因此存在点F(-6,0)和E(0,4)使ADEF成平行四边形

Answer 3

3)已知抛物线为y=-x^2/3+4x/3+4，A(-2,0),D(4,4),AD斜率=2/3
设E（x0,y0)，F(x,y)
AD//EF
AE//DF
则有：
(y-y0)/(x-x0)=2/3
y0/(x0+2)=(y-4)/(x-4)
y0=-x0^2/3+4x0/3+4
三式消去x0和y0即可求出x与y的关系（F点坐标）

Answer 4

1.
设抛物线的解析式为y=a(x^2-4x-12)
将C代入：得a=-1/3
即抛物线的解析式为:y=-(1/3)x^2+(4/3)x+4;

2.

Answer 5

（3）存在，把点d（4，k）代入二次函数的解析式y=-x^2/3+4x/3+4,k=4，点D(4,4)，点,E,和点C重合，即E(0,4),因为点D和点E的纵坐标相等，所以DE平行X轴，而点F在X轴上，所以DE平行AF, AF=DE=4，AF=4,,AF=I-4-2I=6，F(-6.0) 所以点A,D,E,F,是平行四边形 ,，点F的坐标是（-6,0）

追问

就这一个（-6，0）吗，还有没有其它的？

追答

没有其他的。只有这个点F(-6,0)

追问

点D(4,4)?是
你解析式搞错了，符号反了

追答

点A（-2,0),,B(6,0),,C(0,4)，可得出二次函数的解析式Y=-X^2/3+4X/3+4，解析式的正确的，抛物线开口向下，与Y轴才会相交于C点（0,4）

Answer 6

能不能用简便易懂的方法适合初三学生我们还没学斜率