Question

高中平面几何数学问题

已知顶点为坐标原点，焦点在X轴正半轴上的抛物线有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长时5倍根号3，一条直角边所在的直线方程y=2x，求抛物线方程

Answer 1

一条直角边所在的直线方程是y=2x，则另一直角边所在的方程是y=-(1/2)x。
设抛物线方程为y^2=2px。
y=2x与y^2=2px联立解得：x=p/2，y=p。
y=-(1/2)x与y^2=2px联立解得：x=8p，y=-4p。
所以，斜边的两个端点为：(p/2,p)、(8p,-4p)。
斜边长的平方=(8p-p/2)^2+(-4p-p)*2=325p^2/4=(5√3)^2=75，p=12/13。
抛物线方程是：y^2=(24/13)x

Answer 2

设抛物线方程为y的平方=2px
抛物线方程和直线方程y=2x联立可求三角形斜边的一个顶点为（p/2，p)，
由于为直角三角形，另一条边所在直线方程为y=-(1/2)x
同理得另一个交点为（8p,-4p)
由两点间的距离公式得，(225/4)p方+25p方=75
解得p=12/13
抛物线方程为y方=(24/13)x