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证明函数y=x+1/x 在(1,正无穷)上是增函数
5个回答
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设x1,x2∈(1,正无穷),且x1<x2f(x1)-f(x2) =x1-x2+(x2-x1)/x1*x2 =(x1-x2)(1-1/x1*x2)因为x1<x2所以x1-x2<0因为x1>1,x2>1,x1*x2>11/x1*x2<11-1/x1*x2>0f(x1)-f(x2)<0所以x在(1,正无穷)上为增函数
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运用微积分,直接求导
y` = 1 - x^(-2)
当x > 1时,x^(-2) < 1,即y` > 0,可得y = x + 1/x 为增函数
y` = 1 - x^(-2)
当x > 1时,x^(-2) < 1,即y` > 0,可得y = x + 1/x 为增函数
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定义法
令x1>x2>1 则f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=(x1-x2)[1-1/(x1*x2)]
因为x1>x2>1 所以x1-x2>0 且1-1/(x1*x2)>0
所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[1-1/(x1*x2)]>0
即f(x1)>f(x2)
所以函数是增函数
令x1>x2>1 则f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=(x1-x2)[1-1/(x1*x2)]
因为x1>x2>1 所以x1-x2>0 且1-1/(x1*x2)>0
所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[1-1/(x1*x2)]>0
即f(x1)>f(x2)
所以函数是增函数
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假设1<b<a,f(a)=a+1/a f(b)=b+1/b.
f(a)-f(b)=(a-b)+(1/a-1/b)=(a-b)+( b-a)/ab
=(a-b)(1-1/ab)
因为1<b<a,所以a-b>0, 因为1<b<a,所以ab>1 , 1/ab <1,所以(1-1/ab)>0
可知(a-b)(1-1/ab)>0,问题得证
f(a)-f(b)=(a-b)+(1/a-1/b)=(a-b)+( b-a)/ab
=(a-b)(1-1/ab)
因为1<b<a,所以a-b>0, 因为1<b<a,所以ab>1 , 1/ab <1,所以(1-1/ab)>0
可知(a-b)(1-1/ab)>0,问题得证
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y'=(x^2-1)/x^2 当x>1时,分子大于零,所以y'>0,所以函数在(1,正无穷)递增
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