Question

分子是x的3次方乘以arccosx,分母是根号下1减x的平方求不定积分

Answer 1

原式＝－∫｛x^3arccosx/［－√（1－x^2）］｝dx
　　＝－∫x^3arccosxd（arccosx）
　　＝－（1/2）∫x^3d［（arccosx）^2］
　　＝－（1/2）x^3（arccosx）^2＋（1/2）∫（arccosx）^2d（x^3）
　　＝－（x^3/2）（arccosx）^2＋（3/2）∫x^2（arccosx）^2dx。

令arccosx＝t，则：x＝cost，dx＝－sintdt。
∴原式＝－（x^3/2）（arccosx）^2＋（3/2）∫t^2（cost）^2（－sint）dt
　　　＝－（x^3/2）（arccosx）^2－（3/2）∫t^2［1－（sint）^2］sintdt
　　　＝－（x^3/2）（arccosx）^2－（3/2）∫t^2sintdt＋（3/2）∫t^2（sint）^3dt
　　　＝－（x^3/2）（arccosx）^2－（3/2）∫t^2sintdt＋（3/2）∫t^2［（3sint－sin3t）/4］dt
　　　＝－（x^3/2）（arccosx）^2－（3/2）∫t^2sintdt＋（9/8）∫t^2sintdt－（3/8）∫t^2sin3tdt
　　　＝－（x^3/2）（arccosx）^2－（3/8）∫t^2sintdt－（1/8）∫t^2sin3td（3t）
　　　＝－（x^3/2）（arccosx）^2＋（3/8）∫t^2d（cost）＋（1/8）∫t^2d（cos3t）
　　　＝－（x^3/2）（arccosx）^2＋（3/8）t^2cost－（3/8）∫costd（t^2）＋（1/8）t^2cos3t
　　　　－（1/8）∫cos3td（t^2）
　　　＝－（x^3/2）（arccosx）^2＋（3/8）x（arccosx）^2
　　　　＋（1/8）［cos3（arccosx）］（arccosx）^2－（3/4）∫tcostdt－（1/4）∫tcos3tdt
　　　＝（3x/8）（arccosx）^2－（x^3/2）（arccosx）^2
　　　　＋（1/8）｛4［cos（arccosx）］^3－3［cos（arccosx）］｝（arccosx）^2
　　　　－（3/4）∫td（sint）－（1/12）∫td（sin3t）
　　　＝（3x/8）（arccosx）^2－（x^3/2）（arccosx）^2＋（1/2）x^3（arccosx）^2
　　　　－（3/8）x（arccosx）^2－（3/4）tsint＋（3/4）∫sintdt－（1/12）tsin3t
　　　　＋（1/12）∫sin3tdt
　　　＝－（3/4）tsint－（1/12）t［3sint－4（sint）^3］－（3/4）cost－（1/36）cos3t＋C
　　　＝－（5/6）tsint＋（1/3）t（sint）^3－（3/4）x－（1/36）［4（cost）^3－3cost］＋C
　　　＝－（5/6）arccosx√［1－（cost）^2］
　　　　＋（1/3）arccosx［1－（cost）^2］√［1－（cost）^2］－（1/36）（4x^3－3x）＋C
　　　＝－（5/6）√（1－x^2）arccosx＋（1/3）（1－x^2）√（1－x^2）arccosx
　　　　－（1/9）x^3＋（1/12）x＋C
　　　＝x/12－x^3/9－（1/2）√（1－x^2）arccosx－（1/3）x^2√（1－x^2）arccosx＋C