Question

基本不等式的使用问题

a+b=1,求(a+2)^2+(b+2)^2的最小值。
在这道题里，如果使用基本不等式的话就是 (a+2)^2+(b+2)^2>=2(a+2)(b+2) 当且仅当a+2=b+2时等号成立，把a=b代入能得到最小值为25/2。基本不等式在这道题得到的是正确答案。

那么假设求a+1+1/a的最小值
如果我不按照通常求法，而是变成(a+1)+1/a>=2根号[(a+1)/a] 这个时候按照a+1=1/a求得的a值来求最小值却是完全错误的。
我不明白为什么两道同样都是只有在取等号情况下才是定值的题目，一道可以求出正解而另外一道就不行呢？像类似的题目能够用基本不等式吗？

Answer 1

(a+2)^2+(b+2)^2≥2(a+2)(b+2) 当且仅当a+2=b+2时等号成立，把a=b代入能得到最小值为25/2
这么写虽然得到最后的得数是正确的，但过程是错误的
用基本不等式时，≥（或≤）后面跟着的一定是个常数，不能含有未知数，像你写的2(a+2)(b+2)仍然是个式子，这样是不行的。上面那个题目可以这样写
把a+2和b+2看成整体，然后用这个不等式计算x^2+y^2≥(x+y)^2/2
(a+2)^2+(b+2)^2≥(a+2+b+2)^2/2 = 25/2
当a+2=b+2............后面不多写了
注意，一定后面得到的是常数，而不能是带未知数的
同样这个a+1+1/a也是，想要后面得到一个常数的话，应该是把(a+1/a)放一起
因为a+1/a≥2√a*1/a=2（常数）
再举个例子a^2+1/a这个
首先这个是不是直接a^2+2/a≥2√（a^2*2/a）因为后面不是一常数，为了得到常数
a^2+2/a=a^2+1/a+1/a≥3(3次√)(a^2*1/a*1/a)=3
当a^2=1/a=1/a时取等
这样才可以～～

Answer 2

在半径为R的圆形铁皮上割去一个圆心角为a的扇形,使剩下部分围成一个圆锥,a为何值时圆锥的容积最大?
解:设所围园锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么有等式：
V=(1/3)πr²h.......................(1)
其中r=R(2π-α)/2π=R(1-α/2π)，h=√(R²-r²)，代入（1）式得：
V=(1/3)πR²(1-α/2π)²√(R²-r²)=(1/3)πR³(1-α/2π)²√[1-(r/R)²]=(1/3)πR³(1-α/2π)²√[1-(1-α/2π)²]
=(1/3)πR³√{(1-α/2π)⁴[1-(1-α/2π)²]}=(1/3)πR³√{(1-α/2π)²(1-α/2π)²[1-(1-α/2π)²]}
=(1/3)πR³(1/√2)√{(1-α/2π)²(1-α/2π)²[2-2(1-α/2π)²]}
=(√2/6)πR³√{(1-α/2π)²(1-α/2π)²[2-2(1-α/2π)²]}≤(√2/6)πR³√[(2/3)³]=(2√3/27)πR³
当且仅仅当(1-α/2π)²=2-2(1-α/2π)²，即(1-α/2π)²=2/3，1－α/2π=√6/3，α=2π(1-√6/3)时等号
成立。
其中应用了基本不等式：
(1-α/2π)²(1-α/2π)²[2-2(1-α/2π)²]≤{[(1-α/2π)²+(1-α/2π)²+[2-2(1-α/2π)²]/3}³=(2/3)³

Answer 3

a+1+1/a
=(a+1/a)+1
要对a+1/a利用均值不等式
a+1/a>=2
a+1+1/a
=(a+1/a)+1>=3