Question

高中数学椭圆问题 详解

设点F1,F2分别为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，直线l为右准线。若在椭圆上存在M，使MF1,MF2和M到直线l的距离d成等比数列，则此椭圆的离心率e的取值范围是____。

Answer 1

直线l为右准线，根据椭圆的第二定义，椭圆上的点到定点的距离与定直线的距离等于离心率得
MF2/d=e
又MF1＋MF2＝2a
MF1,MF2和M到直线l的距离d成等比数列
MF2＾2＝MF1*d
MF2＾2＝(2a－MF2）*MF2*e
(1-e)MF2＾2-2aeMF2=0
MF2=2ae/(1-e)
由于a-c<MF2<a+c
a-c<2ae/(1-e)<a+c
两端同时除以a得
1-e<2e^2/(1-e)<1+e
即
(1-e)^2<2e^2<1+e(1-e)
e^2-2e+1<2e^2<1+e-e^2
解得
√2－1＜e＜（1＋√13）/6

Answer 2

设点F1,F2分别为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，直线l为右准线。若在椭圆上存在M，使MF1,MF2和M到直线l的距离d成等比数列，则此椭圆的离心率e的取值范围是____。
解：设M(x，y)；L为右准线；故d=(a/e)-x；MF₂=r₂=ed=e(a/e-x)=a-ex；
MF₁=r₁=2a-r₂=2a-(a-ex)=a+ex； MF₁，MF₂，d成等比数列，故有：r²₂=dr₁，
即有(a-ex)²=(a+ex)(a-ex)/e，化简得e(a-ex)=a+ex，故x/a=(e-1)/[e(e+1)]，
由于M在椭圆上，故-a≦x≦a，即有-1≦x/a≦1，
∴-1≦(e-1)[e(e+1)]≦1；由于e-1<0，故只需考虑不等式的左边，即考虑-1≦(e-1)[e(e+1)]，
-e(e+1)≦e-1，e²+2e-1≧0，故得e≧(-2+√5)/2，即e的取值范围为(-2+√5)/2≦e<1.

Answer 3

直线l为右准线，根据椭圆的第二定义，椭圆上的点到定点的距离与定直线的距离等于离心率得
MF2/d=e
又MF1＋MF2＝2a
MF1,MF2和M到直线l的距离d成等比数列
MF2＾2＝MF1*d
MF2＾2＝(2a－MF2）*MF2*e
(1-e)MF2＾2-2aeMF2=0
MF2=2ae/(1-e)
由于a-c<MF2<a+c
a-c<2ae/(1-e)<a+c
两端同时除以a得
1-e<2e^2/(1-e)<1+e
即
(1-e)^2<2e^2<1+e(1-e)
e^2-2e+1<2e^2<1+e-e^2
解得
0＜e＜1/3