Question

一道高数定积分问题

第三问解出来就可以

Answer 1

首先讨论k等不等于1的两种情况；
当k=1时，算的此积分为无穷大，即发散！
当k不等于1，将分子下面的x拿到dx中变为dlnx，在应用不定积分计算（可以把lnx看作自变量设为t，在积分就很容易了，相信楼主应该能化简出结果）。在对所得结果分析，当k>1时，收敛，当k<1时，发散。综上，即k>1时，反常积分收敛，当k小于等于1时2，反常积分发散。
由于电脑没弄编辑公式软件，就没编辑较多的公式，但此题主要考同学讨论分析的能力，计算不是很复杂，只要讨论出k取值的情况，现在的几分运算还是比较容易的，望楼主采纳，如有疑问请追问，谢谢！
补充：刚才才看到楼主对问题的补充，要求反常积分最小值，肯定是在其收敛的时候才可能取到，当k>1时，可求得其收敛于1/[(k-1)乘（ln2的（k-1）次幂）] 将k-1化为t，即当t>0.时，反常积分收敛于1/[t(ln2的t次幂)]求起最小值即求分子最大值，对分子求导能得到当t=ln（ln2）的时候分子最大，即反常积分取最小值。具体求得的反常积分最小值我还没有化简了，比较乱，但就是把t值代入即可，请见谅！