limx趋近于0 { [(1+x)^(1/x)]--e}/x
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[(1+x)^(1/x)]'
={e^ln[(1+x)^(1/x)]}'
=[(1+x)^(1/x)]*[ln(1+x)/x]'
=[(1+x)^(1/x)]*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
所以
lim(x→0) { [(1+x)^(1/x)]--e}/x (0/0,用洛必达法则)
=lim(x→0)[(1+x)^(1/x)]*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
=lim(x→0)[(1+x)^(1/x)]*lim(x→0)[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
=elim(x→0)[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
=elim(x→0)[x-(1+x)ln(1+x)]/[x^2(1+x)]
=elim(x→0)[x-(1+x)ln(1+x)]/x^2 (0/0,用洛必达法则)
=elim(x→0)[1-ln(1+x)-1]/(2x)
=elim(x→0)-ln(1+x)/(2x)
=elim(x→0)-x/(2x)
=-e/2
={e^ln[(1+x)^(1/x)]}'
=[(1+x)^(1/x)]*[ln(1+x)/x]'
=[(1+x)^(1/x)]*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
所以
lim(x→0) { [(1+x)^(1/x)]--e}/x (0/0,用洛必达法则)
=lim(x→0)[(1+x)^(1/x)]*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
=lim(x→0)[(1+x)^(1/x)]*lim(x→0)[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
=elim(x→0)[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
=elim(x→0)[x-(1+x)ln(1+x)]/[x^2(1+x)]
=elim(x→0)[x-(1+x)ln(1+x)]/x^2 (0/0,用洛必达法则)
=elim(x→0)[1-ln(1+x)-1]/(2x)
=elim(x→0)-ln(1+x)/(2x)
=elim(x→0)-x/(2x)
=-e/2
国科安芯
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