如图,以三角形ABC的边BC为直径作圆O,圆O与AB交于点D,E为弧CD的中点,连CD、CE,且CE平分角ACD。
3个回答
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证明:因为BC是圆的直径 所以角BDC=90度
连接BE 因为E为弧CD的中点,所以角EBC=角DBE=1/2角DBC
又CE为角ACD的角平分线,所以角ECD=1/2角ACD
又角ECD=角DBE(夹弧所对的圆周角相等)
所以角ACD=角ABC
角ABC+角DCB=角ACD+角DCB=90度 所以AC垂直BC 即AC是圆O的切线
2、SIN∠ABC=8/10=4/5 SIN∠ABC/2=√5/5 COS∠ABC/2=2√5/5
所以EC=6√5/5
在三角形ACE中,已经知道了EC=6√5/5 AC=8 COS∠ACE=2√5/5
利用余弦定理可以计算出AE= 2/5√205 自己计算下吧刚才一个算错了
连接BE 因为E为弧CD的中点,所以角EBC=角DBE=1/2角DBC
又CE为角ACD的角平分线,所以角ECD=1/2角ACD
又角ECD=角DBE(夹弧所对的圆周角相等)
所以角ACD=角ABC
角ABC+角DCB=角ACD+角DCB=90度 所以AC垂直BC 即AC是圆O的切线
2、SIN∠ABC=8/10=4/5 SIN∠ABC/2=√5/5 COS∠ABC/2=2√5/5
所以EC=6√5/5
在三角形ACE中,已经知道了EC=6√5/5 AC=8 COS∠ACE=2√5/5
利用余弦定理可以计算出AE= 2/5√205 自己计算下吧刚才一个算错了
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图略。为方便书写,在图中标注∠1、∠2、∠3、∠4,位置分别为∠ECD、∠ECA、∠EBA、∠EBC
(1)证明:
∵E为弧CD的中点
∴∠3=∠4(同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等)
∵CE平分角ACD
又∵∠1=∠3(同弧上的圆周角相等)
∴∠1=∠2=∠3=∠4
∵BC为直径
∴∠BDC=90°(直径上的圆周角是直角)
∴∠BCD+∠3+∠4=180°-∠BDC=90°(三角形内角和等于180°)
∴∠BCD+∠1+∠2=90°
∴AC是圆O的切线(经过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线)
(2)解:
在直角三角形ABC中BC=6,AC=8,则斜边AB=10,cos2∠3=3/5
2cos²∠3-1=3/5,cos∠3=(2√5)/5
cos∠4=(2√5)/5
在三角形BEC中
∵BC为直径
∴∠BEC=90°(直径上的圆周角是直角)
BC=6,BE=BC·cos∠4=(12√5)/5
在三角形ABE中AB=10,BE=(12√5)/5,cos∠3=(2√5)/5
∴AE²=AB²+BE²-2AB·BE·cos∠3=100+144/5-20·(12√5)/5·(2√5)/5
=100+144/5-480/5=164/5
AE=(2√205)/5
(1)证明:
∵E为弧CD的中点
∴∠3=∠4(同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等)
∵CE平分角ACD
又∵∠1=∠3(同弧上的圆周角相等)
∴∠1=∠2=∠3=∠4
∵BC为直径
∴∠BDC=90°(直径上的圆周角是直角)
∴∠BCD+∠3+∠4=180°-∠BDC=90°(三角形内角和等于180°)
∴∠BCD+∠1+∠2=90°
∴AC是圆O的切线(经过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线)
(2)解:
在直角三角形ABC中BC=6,AC=8,则斜边AB=10,cos2∠3=3/5
2cos²∠3-1=3/5,cos∠3=(2√5)/5
cos∠4=(2√5)/5
在三角形BEC中
∵BC为直径
∴∠BEC=90°(直径上的圆周角是直角)
BC=6,BE=BC·cos∠4=(12√5)/5
在三角形ABE中AB=10,BE=(12√5)/5,cos∠3=(2√5)/5
∴AE²=AB²+BE²-2AB·BE·cos∠3=100+144/5-20·(12√5)/5·(2√5)/5
=100+144/5-480/5=164/5
AE=(2√205)/5
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