Question

已知二次函数f(x)=x^2+x,若方程f(a^x)-a^(x+1)=5(a>0,a≠1),在[-1,1]上有解，则实数a的取值范围是

Answer 1

f(a^x)-a^(x+1)=5
a^(2x)+(1-a)a^x-5=0　　　（1）
设t=a^x，t>0
则（1）在[-1，1]上有解，等价于
　　　t²+(1-a)t-5=0
在[1/a，a]上有解。
设g(t)=t²+(1-a)t-5，由韦达定理知　t1•t2=-5，从而g(x)=0在[1/a/，a]上有一解。
于是，g(1/a)g(a)≤0
即　[1/a² +(1-a)/a -5][a²+(1-a)a-5]≤0
(1+a-6a²)(a-5)≤0
(2a-1)(3a+1)(a-5)≥0
由于a>0，所以　(2a-1)(a-5)≥0
解得 0<a≤1/2或a≥5