Question

计算∫(上限+∞下限0)xe^(-x)/(1+e^(-x))^2

计算∫(上限+∞下限0)xe^(-x)/(1+e^(-x))^2dx

Answer 1

∫xe^(-x)dx/(1+e^(-x))^2
=∫xe^xdx/(1+e^x)^2
=∫xde^x/(1+e^x)^2
=∫xd(-1/(1+e^x))
=-x/(1+e^x)+∫dx/(1+e^x)
=-x/(1+e^x)+∫e^(-x)dx/(1+e^(-x))
=-x/(1+e^x)-∫d(1+e^(-x))/(1+e^(-x))
=-x/(1+e^x)-ln|1+e^(-x)|+C
lim(x→+∞) -x/(1+e^x)-ln|1+e^(-x)|=0
lim(x→0) -x/(1+e^x)-ln|1+e^(-x)|=-ln2
∫[0,+∞] xe^(-x)/(1+e^(-x))^2=0-(- ln2)=ln2

追问

lim(x→+∞) -x/(1+e^x)-ln|1+e^(-x)|=0这一步如何得出?

追答

lim(x→+∞) -x/(1+e^x) 罗比塔法则
=lim(x→+∞) (-x)'/(1+e^x)'
=lim(x→+∞) -1/(e^x)

lim(x→+∞) ln|(1+e^-x)|=ln1=0