Question

已知A=(a1，a2，a3，a4)是四阶矩阵，a1，a2，a3，a4是四维列向量，若方程组Ax=b，的通解是

已知A=(a1，a2，a3，a4)是四阶矩阵，a1，a2，a3，a4是四维列向量，若方程组Ax=b，的通解是（1，2,2,1）+k（1，-2,4,0），又B=(a3，a2，a1，b-a4)，求Bx=a1-a2的通解
主要是想知道矩阵B的秩为什么是2，怎么不是1或3

Answer 1

因为方程组Ax=b的通解是(1,2,2,1)+k(1,-2,4,0)
那么b=(1+k)a1+(2-2k)a2+(2+4k)a3+a4
b-a4=(1+k)a1+(2-2k)a2+(2+4k)a3
方程组Ax=b导出组Ax=0的通解为k(1,-2,3,0)
即ka1-2ka2+3ka3=0
当k≠0时，存在不全为0的数使a1，a2，a3的线性组合为0，所以a1，a2，a3线性相关
又Ax=0的基础解系中只含有一个向量
所以r(a1，a2，a3，a4)=3
那么r(a1，a2，a3)=2
因为向量组a3，a2，a1，b-a4可以和向量组a1，a2，a3相互线性表示，即二者等价
那么r(a3，a2，a1，b-a4)=r(a1，a2，a3)=2

追问

r(a1，a2，a3，a4)=3
那么r(a1，a2，a3)=2
怎么来的啊，还是不懂。。。详细点好吗

追答

因为a1，a2，a3线性相关
所以r(a1，a2，a3)≤2
又因为r(A | B)≤r(A)+r(B)
那么r(a1，a2，a3，a4)≤r(a1，a2，a3)+r(a4)
若a4为零向量，那么r(a1，a2，a3，a4)≤r(a1，a2，a3)≤2，矛盾
那么a4不是零向量，r(a4)=1
所以r(a1，a2，a3)≥r(a1，a2，a3，a4)-r(a4)=3-1=2
所以r(a1，a2，a3)=2

Answer 2

记 y=（1,2,2,1）^T，z=（1,-2,4,0）^T,
由已知，y是Ax=b的一个特解，kz是对应齐次方程Ax=0的通解
有Ay=b, Az=0
即：(1) a1+2a2+2a3+a4=b
(2) a1-2a2+4a3=0
由(2)： (3) a1=2a2-4a3
由(1)： (4) b-a4=a1+2a2+2a3 = 4a2-2a3
再由齐次方程Ax=0的解空间的秩为1得：
4-r(A)=1，r(A)=3
因此 a2, a3, a4线性无关。
结合(3)(4)可知，a2,a3是矩阵B的极大线性无关组，矩阵B的秩为2
Bx=0的解空间的秩为4-r(B)=2，
由(3)(4)可得，u=(4, -2, 1, 0)^T, v=(2, -4, 0, 1)^T是Bx=0的两个线性无关解，
Bx=0的通解为 k1*u+k2*v（k1, k2∈R）
显然 w=(0,-1,1,0)是Bx=a1-a2的一个特解
因此 Bx=a1-a2 的通解为 w+k1*u+k2*v （k1, k2∈R）

追问

a2, a3, a4线性无关怎么来的

追答

若a2, a3, a4线性相关，则存在不全为0的数k2,k3,k4
使得 k2a2+k3a3+k4a4=0
1. 若 k4≠0，则 a4=(k2/k4)a2+(k3/a4)a3
结合 (3) a1=2a2-4a3
(a1,a2,a3,a4)可由(a2,a3)线性表示，A的秩≤2；
2. 若 k4=0且k3≠0，则k2a2+k3a3=0，a3=(k2/k3)a2
结合 (3) a1=2a2-4a3=(2-4k2/k3)a2
(a1,a2,a3,a4)可由(a2,a4)线性表示，A的秩≤2；
3. 若 k4=0, k3=0，则k2≠0，k2a2=0, a2=0=0*a3
结合 (3) a1=2a2-4a3=-4a3
(a1,a2,a3,a4)可由(a3,a4)线性表示，A的秩≤2；
以上都与r(A)=3矛盾

追问

能直接看出a2, a3, a4线性无关吗，有没有什么定理或公式，你怎么看出来的

追答

r(A+B)≤r(A)+r(B)，当r(A+B)=r(A)+r(B)时从A, B中各取一组基，合起来就是A+B的一组基。

对应到这题，r(a1,a2,a3,a4)≤r(a1,a2,a3)+r(a4)。
r(a4)=1，r(a1,a2,a3,a4)=3，因此r(a1,a2,a3)≥2。
由于a1=2a2-4a3，因此r(a1,a2,a3)≤2，只能r(a1,a2,a3)=2，且(a2,a3)是(a1,a2,a3)的一组基。
此时有r(a1,a2,a3,a4)=r(a1,a2,a3)+r(a4)，因此(a2,a3,a4)是(a1,a2,a3,a4)的一组基。

直观地看，两个空间A,B合并，等同于将B的一组基v1, v2, ..., vr依次加入A中。
若将vk加入A时，vk∈A，则A不变；否则A的维度加1，vk就是对应维度的基向量，A <- A+(vk)