Question

已知点P到两个定点M（-1，0）、N（1，0）距离的比为根号2，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程。

谢谢。用圆的知识回答。
轨迹方程

Answer 1

设点P(x,y)，则|PM|=√y^2+(x+1)^2，|PN|=√y^2+(x-1)^2
有：|PM|/|PN|=√2=[√y^2+(x+1)^2]/[√y^2+(x-1)^2]
即2=[y^2+(x+1)^2]/[y^2+(x-1)^2]，化简得，y^2+(x-3)^2=8 (1)
设PM直线方程为h(t)=kt+b，(t为自变量)，代入点P，M坐标得
y=kx+b，0=-k+b，解得k=b=y/(x+1)；
∴PM直线方程为：h(t)=y(t+1)/(x+1)，即yt-(x+1)h+y=0
点N(1,0)到PM的距离为：d=(y-0+y)/√y^2+(x+1)^2=2y/√y^2+(x+1)^2=1
化简得，3y^2-(x+1)^2=0 (2)
联立方程(1),(2)，解得x=2±√3，y=√3±1
即点P的坐标为(2+√3,√3+1), (2+√3,√3-1), (2-√3,√3+1), (2-√3,√3-1)
∴直线PN有4个直线方程，分别为：
y=x-1，y=(2-√3)(x-1)，y=-(2+√3)(x-1)，y=-(x-1)

追问

不是啊。我是想知道怎么用轨迹方程求解啊。。

追答

设PM方程为y=k(x+1)
kx-y+k=0
N到直线距离为
|k-0+k|/(√k^+1)=1
所以k^+1=4k^
k=±√3/3
y=±√3/3(x+1)
设P(x,y)
PM=√2PN
则(x+1)^+y^=2[(x-1)^+y^]
得 (x-3)^+y^=8
将 y=±√3/3(x+1)带入化简得
x^-4x+1=0
x=2+√3或2-√3
求得P点坐标为(2+√3,1+√3)或（2-√3,1-√3）
又由N(1,0)，得PN方程为
(y-0)/(x-1)=(1+√3-0)/(2+√3-1)
或者(y-0)/(x-1)=(1-√3-0)/(2-√3-1)
得NP方程为 x-y-1=0