Question

求助一个数学问题，非常感谢

已知椭圆：X^/4 +y^/3 =1
直线y=kx-2与椭圆相交于A、B，连OA、OB，取OA、OB中点M、N，连MN，以MN为直径做圆，恰好过原点，求K的值？

Answer 1

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则A(2x1,2y1)，B(2x2,2y2)；
以MN为直径的圆，圆心为MN的中点，设为C（(x1+x2)/2，(y1+y2)/2）
MN²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(2r)²，
r²=OC²=(x1+x2)²/4+(y1+y2)²/4
所以：(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1+x2)²+(y1+y2)²
得：x1x2+y1y2=0
因为点A(2x1,2y1)，B(2x2,2y2)在直线y=kx-2上，
所以，有：2y1=2kx1-2，2y2=2kx2-2
即：y1=kx1-1，y2=kx2-1
所以：y1y2=(kx1-1)(kx2-1)=k²x1x2-k(x1+x2)
则x1x2+y1y2=0，即：(k²+1)x1x2-k(x1+x2)=0
A,B是直线y=kx-2与椭圆x²/4+y²/3=1的交点，
把y=kx-2代入x²/4+y²/3=1，
得关于x的二次方程：(k²+3/4)x²-4kx+1=0
点A(2x1,2y1)，B(2x2,2y2)是交点，即2x1,2x2是该方程的两个根；
由韦达定理：2x1+2x2=4k/(k²+3/4)；2x1*2x2=1/(k²+3/4)
整理得：x1+x2=8k/(4k²+3)，x1x2=1/(4k²+3)；
代入等式：(k²+1)x1x2-k(x1+x2)=0
得：(k²+1)/(4k²+3)-8k²/(4k²+3)=0
即：-7k²+1=0
得：k=±√7/7

注：直线与圆锥曲线相交的题目：按条件列式，联列方程组，用韦达定理；这是一个经常使用的固定套路，要好好掌握哦。。。

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

无语了

Answer 3

0

Answer 4

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