Question

已知数列an满足a1=1/2,an-a(n-1)=1/(2^n),(n∈N*且n>=2),求an

Answer 1

用叠加法
an-a(n-1)=1/(2^n)
a(n-1)-a(n-2)=1/[2^(n-1)]
'''
a3-a2=1/(2^3)
a2-a1=1/(2^2)
等式左右分别相加
an-a1=1/(2^n)+1/[2^(n-1)]+1/[2^(n-2)]+······+1/(2^3)+1/(2^2)
等式右边是个等比数列
an-a1={1/2^2[1-2^(n-1)]}/(1-2)
an-a1=1/2-1/2^n
则an=1-1/2^n

Answer 2

因为an-a(n-1)=1/2^n (n≥2,n∈N*）
那么
a2-a1=1/2^2
a3-a2=1/2^3
a4-a3=1/2^4
...
an-a(n-1)=1/2^n
累加起来，有没有发现a2,a3...a(n-1)都消掉了？
也就是an-a1=1/2^2+1/2^3...1/2^n
an=以a1=1/2,q=1/2的等比数列的前n项和=1-1/2^n